Bài 70 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao

Câu hỏi: Giải các bất phương trình sau:

Câu a​

|x2​ – 5x + 4| ≤ x2​ + 6x + 5
Phương pháp giải:
Áp dụng:
\(\left| f \right| \le g \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g \ge 0\\
- g \le f \le g
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\left| {{x^2} - 5x + 4} \right| \le {x^2} + 6x + 5\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 6x + 5 \ge 0\\
- {x^2} - 6x - 5 \le {x^2} - 5x + 4 \le {x^2} + 6x + 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 6x + 5 \ge 0\\
- {x^2} - 6x - 5 \le {x^2} - 5x + 4\\
{x^2} - 5x + 4 \le {x^2} + 6x + 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \ge - 1\\
x \le - 5
\end{array} \right.\\
- 2{x^2} - x - 9 \le 0\left({dung} \right)\\
- 11x - 1 \le 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \ge - 1\\
x \le - 5
\end{array} \right.\\
x \ge - \frac{1}{{11}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x \ge - \frac{1}{{11}}
\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của bpt là \(S = \left[ { - \frac{1}{{11}}; + \infty } \right)\).
Cách khác:
Ta có: $\left|x^{2}-5 x+4\right| \leq x^{2}+6 x+5$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x^{2}-5 x+4<0 \\ -\left(x^{2}-5 x+4\right) \leq x^{2}+6 x+5 \\ \left\{\begin{array}{c}x^{2}-5 x+4 \geq 0 \\ x^{2}-5 x+4 \leq x^{2}+6 x+5\end{array}\right.\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}1<x<4 \\ -2 x^{2}-x-9 \leq 0 \\ \left\{\begin{array}{c}x \geq 4 \\ x \leq 1 \\ -11 x \leq 1\end{array}\right.\end{array}\right.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 < x < 4}\\
{\forall x}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \ge 4\\
x \le 1
\end{array} \right.\\
x \ge \frac{{ - 1}}{{11}}
\end{array} \right.}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 < x < 4}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge 4}\\
{\frac{{ - 1}}{{11}} \le x \le 1}
\end{array}} \right.}
\end{array} \Leftrightarrow x \ge \frac{{ - 1}}{{11}}} \right.} \right.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
$S=\left[-\frac{1}{11} ;+\infty\right)$

Câu b​

4x2​ + 4x - |2x + 1| ≥ 5
Phương pháp giải:
Áp dụng:
\(\left| f \right| \le g \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g \ge 0\\
- g \le f \le g
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{x^2} + 4x - 5 \ge 0\\
- 4{x^2} - 4x + 5 \le 2x + 1 \le 4{x^2} + 4x - 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{x^2} + 4x - 5 \ge 0\\
- 4{x^2} - 4x + 5 \le 2x + 1\\
2x + 1 \le 4{x^2} + 4x - 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{x^2} + 4x - 5 \ge 0\\
- 4{x^2} - 6x + 4 \le 0\\
- 4{x^2} - 2x + 6 \le 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \ge \frac{{ - 1 + \sqrt 6 }}{2}\\
x \le \frac{{ - 1 - \sqrt 6 }}{2}
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x \ge \frac{1}{2}\\
x \le - 2
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x \le - \frac{3}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x \le - 2
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(S = (-∞, -2] ∪ [1, + ∞)\).
Cách khác:
Ta có:
$4 x^{2}+4 x-|2 x+1| \geq 5$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}2 x+1 \geq 0 \\ 4 x^{2}+4 x-(2 x+1) \geq 5\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{c}2 x+1<0 \\ 4 x^{2}+4 x+(2 x+1) \geq 5\end{array}\right.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ge \frac{{ - 1}}{2}}\\
{4{x^2} + 2x - 6 \ge 0}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ \begin{array}{l}
x < \frac{{ - 1}}{2}\\
4{x^2} + 6x - 4 \ge 0
\end{array} \right.}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{{ - 1}}{2}\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le \frac{{ - 3}}{2}\\
x \ge 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x < \frac{{ - 1}}{2}\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
x \ge \frac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x \le - 2
\end{array} \right.} \right.$