Bài 6 trang 58 SGK Đại số và Giải tích 11

Câu hỏi: Chứng minh rằng:

Câu a​

\(11^{10} – 1\) chia hết cho \(100\)
Phương pháp giải:
Sử dụng khai triển nhị thức Newton.
Phân tích \({11^{10}} = {\left( {1 + 10} \right)^{10}}\).
Lời giải chi tiết:
\({11^{10}} - 1 = {\left( {1 + 10} \right)^{10}} - 1 \)
\(\begin{array}{l}
= (C_{10}^0{1^{10}}{. 10^0} + C_{10}^1{. 1^9}{. 10^1} + ...\\
+ ... + C_{10}^9{. 1^1}{. 10^9} + C_{10}^{10}{1^0}{. 10^{10}}) - 1
\end{array}\)
\(= (1 + C_{10}^1.10 + C_{10}^2{. 10^2}\) \(+ ... + C_{10}^9{. 10^9} + {10^{10}}) - 1\)
\(=10.10+ C^2_{10}{10^2} +  \ldots  + C^9_{10}{10^9} +{10^{10}}\)
\(= 100\left( {1 + C_{10}^2 + C_{10}^3.10 + ... + {{10}^8}} \right)\)
Tổng sau cùng chia hết cho \(100\) suy ra \(11^{10} – 1\) chia hết cho \(100\).

Câu b​

\(101^{100}– 1\) chia hết cho \(10 000\)
Phương pháp giải:
Sử dụng khai triển nhị thức Newton.
Phân tích \({101^{100}} = {\left( {1 + 100} \right)^{100}}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có
\({101^{100}}-1{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}100} \right)^{100}} - {\rm{ }}1\)
\(\begin{array}{l}
= (C_{100}^0{. 1^{100}}{. 100^0} + C_{100}^1{. 1^{99}}{. 100^1} + ...\\
+ ... + C_{100}^{99}{. 1^1}{. 100^{99}} + C_{100}^{100}{. 100^{100}}) - 1
\end{array}\)
\(= (1 + C_{100}^1.100 + C_{100}^2{100^2} + ... \) \(+C_{100}^{99}{100^{99}} + {100^{99}}) - 1\)
\( = {100^2} + C_{100}^2{. 100^2} + ... + C_{100}^{99}{. 100^{99}} + {100^{100}}\)
\(= {100^2}\left( {1 + C_{100}^2 + C_{100}^3.100 + ... + {{100}^{98}}} \right)\)
Tổng sau cùng chia hết cho \(100^2=10 000\) nên \(101^{100}– 1\) chia hết cho \(10 000\).

Câu c​

\(\sqrt{10}[{(1 + \sqrt{10})}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]\) là một số nguyên
Phương pháp giải:
Sử dụng khai triển nhị thức Newton.
Khai triển \({\left( {1 + \sqrt {10} } \right)^{100}}\) và \({\left( {1 - \sqrt {10} } \right)^{100}}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\({(1 + \sqrt {10})^{100}} = C_{100}^0 + C_{100}^1\sqrt {10}  + C_{100}^2{\left({\sqrt {10} } \right)^2} + ... \)
\(+ C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}} + C_{100}^{100}{\left({\sqrt {10} } \right)^{100}}\)
\({(1  - \sqrt {10})^{100}} = C_{100}^0  - C_{100}^1\sqrt {10}  + C_{100}^2{\left({\sqrt {10} } \right)^2} - ... \)
\(- C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}} + C_{100}^{100} {\left({\sqrt {10} } \right)^{100}}\)


Vậy \(\sqrt{10}[{(1 + 10)}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]\) là một số nguyên.