Bài 1 trang 57 SGK Đại số và Giải tích 11

Câu hỏi: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - Tơn:

Câu a​

\({\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}2b} \right)^5}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:
\(\begin{array}{l}
{\left({a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ...\\
... + C_n^k{a^{n - k}}{b^k} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}
\end{array}\)
Trong trường hợp số mũ \(n\) khá nhỏ (chẳng hạn trong các câu a) và b) trên đây) thì ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh các hệ số của khai triển.
Lời giải chi tiết:
Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:
\({(a + 2b)^5} = {a^5} + 5{a^4}. 2b + 10{a^3}.{(2b)^2} + 10{a^2}{(2b)^3}\)
\(+ 5a.{(2b)^4} + {(2b)^5}\)\(={a^5} + 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} + 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} + 32{b^5}\)
\(\begin{array}{l}
C2:{\left({a + 2b} \right)^5}  \\
= C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}{\left({2b} \right)^1} + C_5^2{a^3}{\left({2b} \right)^2}\\
+ C_5^3{a^2}{\left({2b} \right)^3} + C_5^4{a^1}{\left({2b} \right)^4} + C_5^5{\left({2b} \right)^5}\\
= {a^5} + 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} + 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} + 32{b^5}
\end{array}\)

Câu b​

\({\left( {a{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 2 } \right)^6}\)
Lời giải chi tiết:
Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có:
\({\left( {a - \sqrt 2 } \right)^6} = {a^6} + 6{a^5}\left({ - \sqrt 2 } \right) + 15{a^4}{\left({ - \sqrt 2 } \right)^2} \)
\(+ 20{a^3}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^3} + 15{a^{^2}}{\left({ - \sqrt 2 } \right)^4} + 6a{\left({ - \sqrt 2 } \right)^5}\)
\(+ {\left( { - \sqrt 2 } \right)^6}\)\(={a^6} - 6\sqrt 2 {a^5} + 30{a^4}- 40\sqrt 2 {a^3}\)
\(+ 60{a^2} - 24\sqrt 2 a + 8\)
\(\begin{array}{l}
C2: {\left({a - \sqrt 2 } \right)^6} \\
= C_6^0{a^6} + C_6^1{a^5}{\left({ - \sqrt 2 } \right)^1} + C_6^2{a^4}{\left({ - \sqrt 2 } \right)^2}\\ + C_6^3{a^3}{\left({ - \sqrt 2 } \right)^3}+ C_6^4{a^2}{\left({ - \sqrt 2 } \right)^4} \\ + C_6^5{a^1}{\left({ - \sqrt 2 } \right)^5} + C_6^6{\left({ - \sqrt 2 } \right)^6}\\
= {a^6} - 6\sqrt 2 {a^5} + 30{a^4} - 40\sqrt 2 {a^3} + 60{a^2}\\ - 24\sqrt 2 a + 8
\end{array}\)

Câu c​

\(\displaystyle {\left( {x - {1 \over x}} \right)^{13}}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left({x - \dfrac{1}{x}} \right)^{13}}\\
= C_{13}^0{x^{13}} + C_{13}^1{x^{12}}.\left({ - \dfrac{1}{x}} \right) + C_{13}^2{x^{11}}.{\left({ - \dfrac{1}{x}} \right)^2}\\
+ C_{13}^3{x^{10}}.{\left({ - \dfrac{1}{x}} \right)^3} + C_{13}^4{x^9}.{\left({ - \dfrac{1}{x}} \right)^4}\\
+ C_{13}^5{x^8}.{\left({ - \dfrac{1}{x}} \right)^5} + C_{13}^6{x^7}.{\left({ - \dfrac{1}{x}} \right)^6}\\
+ C_{13}^7{x^6}.{\left({ - \dfrac{1}{x}} \right)^7} + C_{13}^8{x^5}.{\left({ - \dfrac{1}{x}} \right)^8}\\
+ C_{13}^9{x^4}.{\left({ - \dfrac{1}{x}} \right)^9} + C_{13}^{10}{x^3}.{\left({ - \dfrac{1}{x}} \right)^{10}}\\
+ C_{13}^{11}{x^2}.{\left({ - \dfrac{1}{x}} \right)^{11}} + C_{13}^{12}x.{\left({ - \dfrac{1}{x}} \right)^{12}} + C_{13}^{13}.{\left({ - \dfrac{1}{x}} \right)^{13}}\\
= C_{13}^0{x^{13}} + C_{13}^1{x^{12}}.\dfrac{{{{\left({ - 1} \right)}^1}}}{x} + C_{13}^2{x^{11}}.\dfrac{{{{\left({ - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\\
+ C_{13}^3{x^{10}}.\dfrac{{{{\left({ - 1} \right)}^3}}}{{{x^3}}} + C_{13}^4{x^9}.\dfrac{{{{\left({ - 1} \right)}^4}}}{{{x^4}}}\\
+ C_{13}^5{x^8}.\dfrac{{{{\left({ - 1} \right)}^5}}}{{{x^5}}} + C_{13}^6{x^7}.\dfrac{{{{\left({ - 1} \right)}^6}}}{{{x^6}}}\\
+ C_{13}^7{x^6}.\dfrac{{{{\left({ - 1} \right)}^7}}}{{{x^7}}} + C_{13}^8{x^5}.\dfrac{{{{\left({ - 1} \right)}^8}}}{{{x^8}}}\\
+ C_{13}^9{x^4}.\dfrac{{{{\left({ - 1} \right)}^9}}}{{{x^9}}} + C_{13}^{10}{x^3}.\dfrac{{{{\left({ - 1} \right)}^{10}}}}{{{x^{10}}}}\\
+ C_{13}^{11}{x^2}.\dfrac{{{{\left({ - 1} \right)}^{11}}}}{{{x^{11}}}} + C_{13}^{12}x.\dfrac{{{{\left({ - 1} \right)}^{12}}}}{{{x^{12}}}} + C_{13}^{13}.\dfrac{{{{\left({ - 1} \right)}^{13}}}}{{{x^{13}}}}\\
= C_{13}^0{x^{13}} - C_{13}^1{x^{11}} + C_{13}^2{x^9} - C_{13}^3{x^7} + C_{13}^4{x^5}\\
- C_{13}^5{x^3} + C_{13}^6x - C_{13}^7.\dfrac{1}{x} + C_{13}^8.\dfrac{1}{{{x^3}}} - C_{13}^9.\dfrac{1}{{{x^5}}}\\
+ C_{13}^{10}.\dfrac{1}{{{x^7}}} - C_{13}^{11}.\dfrac{1}{{{x^9}}} + C_{13}^{12}.\dfrac{1}{{{x^{11}}}} - C_{13}^{13}.\dfrac{1}{{{x^{13}}}}
\end{array}\)