Lý thuyết nhị thức Niu - Tơn

Câu hỏi: I. Công thức nhị thức Niu - Tơn
1. Công thức nhị thức Niu - Tơn
Với \(a, b\) là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên \(n ≥ 1\), ta có:
\({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... +\)
\(C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}(1)\)
Ví dụ:
Viết khai triển \({\left( {a + b} \right)^5}\).
Hướng dẫn:
Ta có:
\({\left( {a + b} \right)^5}\)
\(= C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2}\) \(+ C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}\)
\(= {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2}\) \(+ 10{a^2}{b^3} + 5a{b^5} + {b^5}\)
2. Quy ước
Với \(a\) là số thực khác \(0\) và \(n\) là số tự nhiên khác \(0\), ta quy ước:
\(a^0 = 1\); \(a^{-n}= {1 \over {{a^n}}}\).
3. Chú ý
Với các điều kiện và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện \(a\) và \(b\) đều khác \(0\), có thể viết công thức (1) ở dạng sau đây:
\({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k} = \sum\limits_{k = 0}^n {{a^k}{b^{n - k}}} } \)
Công thức này không xuất hiện trong SGK nên khi trình bày bài toán các em lưu ý không dùng. Chỉ dùng khi làm trắc nghiệm để các bước tính toán được ngắn gọn và nhanh ra đáp án.
II. Tam giác Pa-xcan
1. Tam giác Pa-xcan là tam giác số ghi trong bảng (SGK)
2. Cấu tạo của tam giác Pa-xcan
- Các số ở đầu và cuối hàng đều bằng \(1\).
- Xét hai số ở cột \(k\) và cột \(k + 1\), đồng thời cùng thuộc dòng \(n\), (\(k ≥ 0; n ≥1\)), ta có: tổng của hai số này bằng số đứng ở giao của cột \(k + 1\) và dòng \(n + 1\).
3. Tính chất của tam giác Pa-xcan
Từ cấu tạo của tam giác Pa-xcan, có thể chứng minh được rằng:
a) Giao của dòng \(n\) và cột \(k\) là \(C_n^k\)
b) Các số của tam giác Pa-xcan thỏa mãn công thức Pa-xcan:
\(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\)
c) Các số ở dòng \(n\) là các hệ số trong khai triển của nhị thức \({(a + b)}^n\) (theo công thức nhị thức Niu - Tơn), với \(a, b\) là hai số thực tùy ý.
Chẳng hạn, các số ở dòng \(4\) là các hệ số trong khai triển của \((a + b)^4\) (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) dưới đây:
\({\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)^4} \)\(= {\rm{ }}{a^4} + {\rm{ }}4{a^3}b{\rm{ }} + {\rm{ }}6{a^2}{b^{2}} + {\rm{ }}4a{b^3}{\rm{ }} + {\rm{ }}{b^4}\)