Bài 5 trang 127 SGK Giải tích 12

Câu hỏi: Tính:

Câu a​

a) \(\displaystyle\int_0^3 {{x \over {\sqrt {1 + x} }}} dx\)
Phương pháp giải:
+) Sử dụng phương pháp đổi biến và các công thức tính tích phân cơ bản để tính tích phân.
+) Chú ý: Khi đổi biến cần đổi cận.
Lời giải chi tiết:
Đặt \(t = \sqrt {1 + x} \) , ta được: \(x = t^2- 1, dx = 2t dt\)
Khi \(x = 0\) thì \(t = 1\), khi \(x = 3\) thì \(t = 2.\)
Do đó:
\(\displaystyle \int_0^3 {{x \over {\sqrt {1 + x} }}} dx = \int_1^2 {{{{t^2} - 1} \over t}} . 2tdt = 2\int_1^2 {({t^2} - 1)dt}\)
\(\displaystyle= 2({{{t^3}} \over 3} - t)\left| {_1^2} \right. = 2({8 \over 3} - 2 - {1 \over 3} + 1) = {8 \over 3} \)

Câu b​

b) \(\displaystyle\int_1^{64} {{{1 + \sqrt x } \over {\root 3 \of x }}} dx\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\displaystyle\int_1^{64} {{{1 + \sqrt x } \over {\root 3 \of x }}} dx = \int_1^{64} {{{1 + {x^{{1 \over 2}}}} \over {{x^{{1 \over 3}}}}}} dx = \int_1^{64} {({x^{{-1 \over 3}}} + {x^{{1 \over 6}}})dx}\)
\(\displaystyle=({3 \over 2}{x^{{2 \over 3}}} + {6 \over 7}{x^{{7 \over 6}}})\left| {_1^{64}} \right.  = \frac{{1872}}{{14}} - \frac{{33}}{{14}}= {{1839} \over {14}}. \)

Câu c​

c) \(\int_0^2 {{x^2}} {e^{3x}}dx\)
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp từng phần tính tích phân.
Lời giải chi tiết:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = {e^{3x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = \dfrac{{{e^{3x}}}}{3}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^2 {{x^2}{e^{3x}}dx} \\ = \left. {\left( {{x^2}.\dfrac{{{e^{3x}}}}{3}} \right)} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {\dfrac{{2x{e^{3x}}}}{3}dx} \\ = \dfrac{{4{e^6}}}{3} - \dfrac{2}{3}\int\limits_0^2 {x{e^{3x}}dx} \end{array}\)
Xét \({I_1} = \int\limits_0^2 {x{e^{3x}}dx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^{3x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \dfrac{{{e^{3x}}}}{3}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {I_1} = \left. {\left( {x.\dfrac{{{e^{3x}}}}{3}} \right)} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {\dfrac{{{e^{3x}}}}{3}dx} \\ = \dfrac{{2{e^6}}}{3} - \left. {\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{e^{3x}}}}{3}} \right|_0^2\\ = \dfrac{{2{e^6}}}{3} - \dfrac{1}{9}\left({{e^6} - 1} \right)\\ = \dfrac{5}{9}{e^6} + \dfrac{1}{9}\\ \Rightarrow I = \dfrac{{4{e^6}}}{3} - \dfrac{2}{3}{I_1}\\ = \dfrac{{4{e^6}}}{3} - \dfrac{2}{3}\left({\dfrac{5}{9}{e^6} + \dfrac{1}{9}} \right)\\ = \dfrac{{26}}{{27}}{e^6} - \dfrac{2}{{27}}\end{array}\)
Cách trình bày khác:
Ta có:
\(\displaystyle \int_0^2 {{x^2}} {e^{3x}}dx = {1 \over 3}\int_0^2 {{x^2}} d{e^{3x}} \) \(\displaystyle  = {1 \over 3}{x^2}{e^{3x}}\left| {_0^2} \right. - {2 \over 3}\int_0^2 {x{e^{3x}}} dx \) \(=\dfrac{1}{3}\left. {{x^2}{e^{3x}}} \right|_0^2 - \dfrac{2}{9}\int\limits_0^2 {xd\left( {{e^{3x}}} \right)} \) \(\displaystyle = {4 \over 3}{e^6} - {2 \over 9}(x{e^{3x}})\left| {_0^2} \right. + {2 \over {27}}\int_0^2 {{e^{3x}}} d(3x) \)
\(\displaystyle = {4 \over 3}{e^6} - {4 \over 9}{e^6} + {2 \over {27}}{e^{3x}}\left| {_0^2} \right. = {2 \over {27}}(13{e^6} - 1) \)

Câu d​

d) \(\int_0^\pi  {\sqrt {1 + \sin 2x} } dx\)
Phương pháp giải:
Biến đổi thu gọn hàm số dưới dấu tích phân và tính tích phân thu được.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\sqrt {1 + \sin 2x} \) \(= \sqrt {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + 2\sin x{\mathop{\rm cosx}\nolimits} }\)
\(= \sqrt {{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}} \)
\(= |{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + {\mathop{\rm cosx}\nolimits} | \)
\(\displaystyle = \sqrt 2 |\sin (x + {\pi \over 4})| \)
\(=\left\{ \matrix{
\sqrt 2 \sin (x + {\pi \over 4}), x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 4}} \right] \hfill \cr 
- \sqrt 2 \sin (x + {\pi \over 4}), x \in \left[ {{{3\pi } \over 4},\pi } \right] \hfill \cr} \right.\)
Do đó:
\(\displaystyle \int_0^\pi {\sqrt {1 + \sin 2x} } dx \)
\(= \int\limits_0^\pi  {\sqrt 2 \left| {\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|dx}  \)
\(= \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {\sqrt 2 \left| {\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|dx} \) \(+ \int\limits_{\frac{{3\pi }}{4}}^\pi  {\sqrt 2 \left| {\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|dx}  \)
\(= \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)dx}  \) \(- \int\limits_{\frac{{3\pi }}{4}}^\pi  {\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)dx} \)
\(\displaystyle = \sqrt 2 \int_0^{{{3\pi } \over 4}} {\sin (x + {\pi \over 4}})d(x + {\pi \over 4})\) \(\displaystyle  - \sqrt 2 \int_{{{3\pi } \over 4}}^\pi {\sin (x + {\pi \over 4}})d(x + {\pi \over 4}) \)  \(\displaystyle = - \sqrt 2 \cos (x + {\pi \over 4})\left| {_0^{{{3\pi } \over 4}}} \right. + \sqrt 2 \cos (x + {\pi \over 4})\left| {_{{{3\pi } \over 4}}^\pi } \right.\) \(= \left( {\sqrt 2  + 1} \right) - \left({1 - \sqrt 2 } \right)\) \(= 2\sqrt 2 \)