Google
Câu hỏi: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \(y = \sqrt x\) và \(y = x\) quay xung quanh trục \(Ox\). Thể tích của khối tròn xoay tại thành bằng:
A. \(0\)
B. \(– π\)
C. \(π\)
D. \(\displaystyle{\pi \over 6}\)
A. \(0\)
B. \(– π\)
C. \(π\)
D. \(\displaystyle{\pi \over 6}\)
Phương pháp giải
Quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=f(x); y=g(x)\) và các đường thẳng \(x=a; y=b (a<b)\) quanh trục \(Ox\) thì thể tích của hình phẳng đó được tính bởi công thức: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left(x \right)} \right|dx.} \)
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng \(y = \sqrt x\) và \(y = x\) là:
\(x = \sqrt x ⇔ x = 0\) hoặc \(x = 1\)
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
\(V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {x^2}} \right|dx} \) \(= \pi \int\limits_0^1 {\left| {x - {x^2}} \right|dx} \)
Với \(0 \le x \le 1\) thì \(x \ge {x^2}\) nên:
\(\displaystyle V = \pi \int_0^1 {(x - {x^2}})dx = \pi \left[ {{{{x^2}} \over 2} - {{{x^3}} \over 3}} \right]\left| {_0^1} \right. = {\pi \over 6}\)
Quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=f(x); y=g(x)\) và các đường thẳng \(x=a; y=b (a<b)\) quanh trục \(Ox\) thì thể tích của hình phẳng đó được tính bởi công thức: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left(x \right)} \right|dx.} \)
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng \(y = \sqrt x\) và \(y = x\) là:
\(x = \sqrt x ⇔ x = 0\) hoặc \(x = 1\)
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
\(V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {x^2}} \right|dx} \) \(= \pi \int\limits_0^1 {\left| {x - {x^2}} \right|dx} \)
Với \(0 \le x \le 1\) thì \(x \ge {x^2}\) nên:
\(\displaystyle V = \pi \int_0^1 {(x - {x^2}})dx = \pi \left[ {{{{x^2}} \over 2} - {{{x^3}} \over 3}} \right]\left| {_0^1} \right. = {\pi \over 6}\)
Đáp án D.