Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng nếu hàm số \(f\left( z \right)\) có đạo hàm đến cấp n thì
\(\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left(n \right)} = {a^n}f_z^{\left(n \right)}\left({ax + b} \right).\)
\(\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left(n \right)} = {a^n}f_z^{\left(n \right)}\left({ax + b} \right).\)
Phương pháp giải
HD: Chứng minh bằng quy nạp.
Lời giải chi tiết
Với \(n = 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}{\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x}'\\ = \left({ax + b} \right)'{f_z}'\left({ax + b} \right)\\ = a{f_z}'\left({ax + b} \right)\end{array}\)
Nên (*) đúng.
Giả sử (*) đúng với \(n = k\), nghĩa là
\(\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left(k \right)} = {a^k}f_z^{\left(k \right)}\left({ax + b} \right)\)
Ta chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là:
\(\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left({k + 1} \right)} = {a^{k + 1}}f_z^{\left({k + 1} \right)}\left({ax + b} \right)\)
Thật vậy,
\(\begin{array}{l}\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left({k + 1} \right)}\\ = \left\{ {\left[ {f\left({ax + b} \right)} \right]_x^{\left(k \right)}} \right\}'\\ = \left[ {{a^k}f_z^{\left(k \right)}\left({ax + b} \right)} \right]'\\ = {a^k}.\left[ {f_z^{\left(k \right)}\left({ax + b} \right)} \right]'\\ = {a^k}.\left({ax + b} \right)'. F_z^{\left({k + 1} \right)}\left({ax + b} \right)\\ = {a^k}. A. F_z^{\left({k + 1} \right)}\left({ax + b} \right)\\ = {a^{k + 1}}f_z^{\left({k + 1} \right)}\left({ax + b} \right)\end{array}\)
Suy ra đpcm.
HD: Chứng minh bằng quy nạp.
Lời giải chi tiết
Với \(n = 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}{\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x}'\\ = \left({ax + b} \right)'{f_z}'\left({ax + b} \right)\\ = a{f_z}'\left({ax + b} \right)\end{array}\)
Nên (*) đúng.
Giả sử (*) đúng với \(n = k\), nghĩa là
\(\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left(k \right)} = {a^k}f_z^{\left(k \right)}\left({ax + b} \right)\)
Ta chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là:
\(\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left({k + 1} \right)} = {a^{k + 1}}f_z^{\left({k + 1} \right)}\left({ax + b} \right)\)
Thật vậy,
\(\begin{array}{l}\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left({k + 1} \right)}\\ = \left\{ {\left[ {f\left({ax + b} \right)} \right]_x^{\left(k \right)}} \right\}'\\ = \left[ {{a^k}f_z^{\left(k \right)}\left({ax + b} \right)} \right]'\\ = {a^k}.\left[ {f_z^{\left(k \right)}\left({ax + b} \right)} \right]'\\ = {a^k}.\left({ax + b} \right)'. F_z^{\left({k + 1} \right)}\left({ax + b} \right)\\ = {a^k}. A. F_z^{\left({k + 1} \right)}\left({ax + b} \right)\\ = {a^{k + 1}}f_z^{\left({k + 1} \right)}\left({ax + b} \right)\end{array}\)
Suy ra đpcm.