Google
Câu hỏi: Xác định a để \(g'\left( x \right) \ge 0\forall x \in R,\) biết rằng
\(g\left( x \right) = \sin x - a\sin 2x - {1 \over 3}\sin 3x + 2ax.\)
\(g\left( x \right) = \sin x - a\sin 2x - {1 \over 3}\sin 3x + 2ax.\)
Lời giải chi tiết
\(\eqalign{
& g'\left(x \right) = \cos x - 2a\cos 2x - \cos 3x + 2a \cr
& = 2a - 2a\cos 2x + \left({\cos x - \cos 3x} \right)\cr &= 2a\left({1 - \cos 2x} \right) + \left({\cos x - \cos 3x} \right)\cr & = 2a. 2{\sin ^2}x + \left({ - 2\sin 2x\sin \left( { - x} \right)} \right)\cr &{\rm{ }} = 4a{\sin ^2}x + 2\sin x\sin 2x \cr
& {\rm{ }} = 4a{\sin ^2}x + 4{\sin ^2}x\cos x \cr
& {\rm{ }} = 4{\sin ^2}x\left({a + \cos x} \right). \cr} \)
Rõ ràng với a > 1 thì \(a + \cos x > 0\) và \({\sin ^2}x \ge 0\) với mọi \(x \in R\) nên với a > 1 thì \(g'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R.\)
\(\eqalign{
& g'\left(x \right) = \cos x - 2a\cos 2x - \cos 3x + 2a \cr
& = 2a - 2a\cos 2x + \left({\cos x - \cos 3x} \right)\cr &= 2a\left({1 - \cos 2x} \right) + \left({\cos x - \cos 3x} \right)\cr & = 2a. 2{\sin ^2}x + \left({ - 2\sin 2x\sin \left( { - x} \right)} \right)\cr &{\rm{ }} = 4a{\sin ^2}x + 2\sin x\sin 2x \cr
& {\rm{ }} = 4a{\sin ^2}x + 4{\sin ^2}x\cos x \cr
& {\rm{ }} = 4{\sin ^2}x\left({a + \cos x} \right). \cr} \)
Rõ ràng với a > 1 thì \(a + \cos x > 0\) và \({\sin ^2}x \ge 0\) với mọi \(x \in R\) nên với a > 1 thì \(g'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R.\)