Google
Câu hỏi: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
Lời giải chi tiết:
\(\int {2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right)} dx = \int {\left({2x - 2{x^{ - 2}}} \right)dx }\) \(= \dfrac{{2x}}{2} - \dfrac{{2.{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} + C = x + 2.{x^{ - 1}} + C\) \(= {x^2} + {2 \over x} + C \)
Lời giải chi tiết:
\(\int {\left( {8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}}} \right)dx = } \int {\left({8x - 2{x^{ - {1 \over 4}}}} \right)} dx\) \( = \dfrac{{8{x^2}}}{2} - \dfrac{{2.{x^{\frac{3}{4}}}}}{{\frac{3}{4}}} + C\) \(= 4{x^2} - {8 \over 3}{x^{{3 \over 4}}} + C\)
Phương pháp giải:
Đổi biến \(u = {x^{{3 \over 2}}} + 1\)
Lời giải chi tiết:
Đặt
\(u = {x^{{3 \over 2}}} + 1 \Rightarrow du = {3 \over 2}{x^{{1 \over 2}}}dx\) \(\Rightarrow {x^{{1 \over 2}}}dx = {2 \over 3}du \)
\(\int {{x^{\frac{1}{2}}}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)dx} \)\(= \frac{2}{3}\int {\sin udu} \) \(= - \frac{2}{3}\cos u + C\) \(= - \frac{2}{3}\cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right) + C\)
Cách 2: Đưa vào vi phân
\(\int {{x^{\frac{1}{2}}}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)dx} \)\(= \int {\frac{2}{3}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)\left({{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)'dx} \) \(= \frac{2}{3}\int {\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)d\left({{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)} \) \(= \frac{2}{3}.\left[ { - \cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)} \right] + C\) \(= - \frac{2}{3}\cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right) + C\)
Phương pháp giải:
Đổi biến \(u=\cos (2x+1)\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(u = \cos \left( {2x + 1} \right) \) \(\Rightarrow du = - 2\sin \left( {2x + 1} \right)dx \) \(\Rightarrow \sin \left( {2x + 1} \right)dx = - {1 \over 2}du\)
Do đó
\(\int {\dfrac{{\sin \left( {2x + 1} \right)}}{{{{\cos }^2}\left({2x + 1} \right)}}dx} \)\(= \int {\left( { - \dfrac{1}{{2{u^2}}}} \right)du} = \dfrac{1}{2}\int {\left({ - \dfrac{1}{{{u^2}}}} \right)du} \) \(= \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{u} + C = \dfrac{1}{{2u}} + C\) \(= \dfrac{1}{{2\cos \left( {2x + 1} \right)}} + C\)
Cách khác: Đưa vào vi phân
\(\int {\dfrac{{\sin \left( {2x + 1} \right)}}{{{{\cos }^2}\left({2x + 1} \right)}}dx} \)\(= \int {\dfrac{{ - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2x + 1} \right)} \right]'dx}}{{{{\cos }^2}\left({2x + 1} \right)}}} \) \(= - \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{d\left( {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)} \right)}}{{{{\cos }^2}\left({2x + 1} \right)}}} \) \(= - \dfrac{1}{2}.\left( { - \dfrac{1}{{\cos \left( {2x + 1} \right)}}} \right) + C\) \(= \dfrac{1}{{2\cos \left( {2x + 1} \right)}} + C\)
Câu a
\(y = 2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right);\)Lời giải chi tiết:
\(\int {2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right)} dx = \int {\left({2x - 2{x^{ - 2}}} \right)dx }\) \(= \dfrac{{2x}}{2} - \dfrac{{2.{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} + C = x + 2.{x^{ - 1}} + C\) \(= {x^2} + {2 \over x} + C \)
Câu b
\(y = 8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}};\)Lời giải chi tiết:
\(\int {\left( {8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}}} \right)dx = } \int {\left({8x - 2{x^{ - {1 \over 4}}}} \right)} dx\) \( = \dfrac{{8{x^2}}}{2} - \dfrac{{2.{x^{\frac{3}{4}}}}}{{\frac{3}{4}}} + C\) \(= 4{x^2} - {8 \over 3}{x^{{3 \over 4}}} + C\)
Câu c
\(y = {x^{{1 \over 2}}}\sin \left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right);\)Phương pháp giải:
Đổi biến \(u = {x^{{3 \over 2}}} + 1\)
Lời giải chi tiết:
Đặt
\(u = {x^{{3 \over 2}}} + 1 \Rightarrow du = {3 \over 2}{x^{{1 \over 2}}}dx\) \(\Rightarrow {x^{{1 \over 2}}}dx = {2 \over 3}du \)
\(\int {{x^{\frac{1}{2}}}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)dx} \)\(= \frac{2}{3}\int {\sin udu} \) \(= - \frac{2}{3}\cos u + C\) \(= - \frac{2}{3}\cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right) + C\)
Cách 2: Đưa vào vi phân
\(\int {{x^{\frac{1}{2}}}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)dx} \)\(= \int {\frac{2}{3}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)\left({{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)'dx} \) \(= \frac{2}{3}\int {\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)d\left({{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)} \) \(= \frac{2}{3}.\left[ { - \cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)} \right] + C\) \(= - \frac{2}{3}\cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right) + C\)
Câu d
\(y = {{\sin \left( {2x + 1} \right)} \over {{{\cos }^2}\left({2x + 1} \right)}};\)Phương pháp giải:
Đổi biến \(u=\cos (2x+1)\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(u = \cos \left( {2x + 1} \right) \) \(\Rightarrow du = - 2\sin \left( {2x + 1} \right)dx \) \(\Rightarrow \sin \left( {2x + 1} \right)dx = - {1 \over 2}du\)
Do đó
\(\int {\dfrac{{\sin \left( {2x + 1} \right)}}{{{{\cos }^2}\left({2x + 1} \right)}}dx} \)\(= \int {\left( { - \dfrac{1}{{2{u^2}}}} \right)du} = \dfrac{1}{2}\int {\left({ - \dfrac{1}{{{u^2}}}} \right)du} \) \(= \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{u} + C = \dfrac{1}{{2u}} + C\) \(= \dfrac{1}{{2\cos \left( {2x + 1} \right)}} + C\)
Cách khác: Đưa vào vi phân
\(\int {\dfrac{{\sin \left( {2x + 1} \right)}}{{{{\cos }^2}\left({2x + 1} \right)}}dx} \)\(= \int {\dfrac{{ - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2x + 1} \right)} \right]'dx}}{{{{\cos }^2}\left({2x + 1} \right)}}} \) \(= - \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{d\left( {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)} \right)}}{{{{\cos }^2}\left({2x + 1} \right)}}} \) \(= - \dfrac{1}{2}.\left( { - \dfrac{1}{{\cos \left( {2x + 1} \right)}}} \right) + C\) \(= \dfrac{1}{{2\cos \left( {2x + 1} \right)}} + C\)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!