Google
Câu hỏi: Giải và biện luận các bất phương trình:
Phương pháp giải:
Biến đổi bpt về dạng \(x \le b\left( {ax \ge b, ax < b, ax > b} \right)\) rồi xét các trường hợp \(a > 0, a < 0, a=0\) suy ra tập nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}mx + 4 > 2x + {m^2}\\ \Leftrightarrow mx - 2x > {m^2} - 4\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)x > \left({m - 2} \right)\left({m + 2} \right) \left(* \right)\end{array}\)
+) Nếu \(m - 2 > 0 \Leftrightarrow m > 2\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x > \dfrac{{\left({m - 2} \right)\left({m + 2} \right)}}{{m - 2}} = m + 2\)
\(\Rightarrow S = \left( {m + 2; + \infty } \right)\)
+) Nếu \(m - 2 < 0 \Leftrightarrow m < 2\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x < \dfrac{{\left({m - 2} \right)\left({m + 2} \right)}}{{m - 2}} = m + 2\)
\(\Rightarrow S = \left( { - \infty; m + 2} \right)\)
+) Nếu \(m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow 0x > 0\) (vô lý)
\(\Rightarrow S = \emptyset \)
Vậy,
+ Nếu \(m > 2\) thì \(S = (m + 2, +∞)\)
+ Nếu \(m < 2\) thì \(S = (-∞; m + 2)\)
+ Nếu \(m = 2\) thì \(S = Ø\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}2mx + 1 \ge x + 4{m^2}\\ \Leftrightarrow 2mx - x \ge 4{m^2} - 1\\ \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right)x \ge \left({2m - 1} \right)\left({2m + 1} \right) \left(* \right)\end{array}\)
+) Nếu \(2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{\left({2m - 1} \right)\left({2m + 1} \right)}}{{2m - 1}} = 2m + 1\)
\(\Rightarrow S = \left[ {2m + 1; + \infty } \right)\)
+) Nếu \(2m - 1 < 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{2}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x \le \dfrac{{\left({2m - 1} \right)\left({2m + 1} \right)}}{{2m - 1}} = 2m + 1\)
\(\Rightarrow S = \left( { - \infty; 2m + 1} \right]\)
+) Nếu \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow 0x \ge 0\) (luôn đúng)
\(\Rightarrow S = \mathbb{R}\)
Vậy,
+ Nếu \(m > {1 \over 2}\) thì \(S = [2m +1; +∞)\)
+ Nếu \(m < {1 \over 2}\) thì \(S = (-∞; 2m + 1]\)
+ Nếu \(m = {1 \over 2}\) thì \(S =\mathbb R\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}x\left( {{m^2} - 1} \right) < {m^4} - 1\\ \Leftrightarrow x\left({{m^2} - 1} \right) < \left({{m^2} - 1} \right)\left({{m^2} + 1} \right) \left(* \right)\end{array}\)
+) Nếu \({m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x < \dfrac{{\left({{m^2} - 1} \right)\left({{m^2} + 1} \right)}}{{{m^2} - 1}} = {m^2} + 1\)
\(\Rightarrow S = \left( { - \infty ;{m^2} + 1} \right)\)
+) Nếu \({m^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x > \dfrac{{\left({{m^2} - 1} \right)\left({{m^2} + 1} \right)}}{{{m^2} - 1}} = {m^2} + 1\)
\(\Rightarrow S = \left( {{m^2} + 1; + \infty } \right)\)
+) Nếu \({m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 1\end{array} \right.\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow 0x < 0\)(vô lý)
\(\Rightarrow S = \emptyset \)
Vậy,
+ Nếu \(\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\) thì \(S = \left( { - \infty ;{m^2} + 1} \right)\).
+ Nếu \(- 1 < m < 1\) \(S = \left( {{m^2} + 1; + \infty } \right)\).
+ Nếu \(m = \pm 1\) thì \(S = \emptyset \).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}2\left( {m + 1} \right)x \le {\left({m + 1} \right)^2}\left({x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left({2m + 2} \right)x \le {\left({m + 1} \right)^2}x - {\left({m + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left({2m + 2 - {m^2} - 2m - 1} \right)x \le - {\left({m + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left({1 - {m^2}} \right)x \le - {\left({m + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left({{m^2} - 1} \right)x \ge {\left({m + 1} \right)^2}\end{array}\)
+) Nếu \({m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{{{\left({m + 1} \right)}^2}}}{{{m^2} - 1}} = \dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}\)
\(\Rightarrow S = \left[ {\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}; + \infty } \right)\)
+) Nếu \({m^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x \le \dfrac{{{{\left({m + 1} \right)}^2}}}{{{m^2} - 1}} = \dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}\)
\(\Rightarrow S = \left( { - \infty ;\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}} \right]\)
+) Nếu \({m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 1\end{array} \right.\)
Với \(m = 1\) thì (*) là \(0x \ge 4\) (vô lý)
\(\Rightarrow S = \emptyset \)
Với \(m = - 1\) thì (*) là \(0x \ge 0\) (luôn đúng)
\(\Rightarrow S = \mathbb{R}\)
Vậy,
+ Nếu \(\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\) thì \(S = \left[ {\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}; + \infty } \right)\).
+ Nếu \(- 1 < m < 1\) thì \(S = \left( { - \infty ;\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}} \right]\).
+ Nếu \(m = 1\) thì \(S = \emptyset \).
+ Nếu \(m = - 1\) thì \(S = \mathbb{R}\).
Câu a
\(mx + 4 > 2x + {m^2}\)Phương pháp giải:
Biến đổi bpt về dạng \(x \le b\left( {ax \ge b, ax < b, ax > b} \right)\) rồi xét các trường hợp \(a > 0, a < 0, a=0\) suy ra tập nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}mx + 4 > 2x + {m^2}\\ \Leftrightarrow mx - 2x > {m^2} - 4\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)x > \left({m - 2} \right)\left({m + 2} \right) \left(* \right)\end{array}\)
+) Nếu \(m - 2 > 0 \Leftrightarrow m > 2\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x > \dfrac{{\left({m - 2} \right)\left({m + 2} \right)}}{{m - 2}} = m + 2\)
\(\Rightarrow S = \left( {m + 2; + \infty } \right)\)
+) Nếu \(m - 2 < 0 \Leftrightarrow m < 2\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x < \dfrac{{\left({m - 2} \right)\left({m + 2} \right)}}{{m - 2}} = m + 2\)
\(\Rightarrow S = \left( { - \infty; m + 2} \right)\)
+) Nếu \(m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow 0x > 0\) (vô lý)
\(\Rightarrow S = \emptyset \)
Vậy,
+ Nếu \(m > 2\) thì \(S = (m + 2, +∞)\)
+ Nếu \(m < 2\) thì \(S = (-∞; m + 2)\)
+ Nếu \(m = 2\) thì \(S = Ø\)
Câu b
\(2mx + 1 \ge x + 4{m^2}\)Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}2mx + 1 \ge x + 4{m^2}\\ \Leftrightarrow 2mx - x \ge 4{m^2} - 1\\ \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right)x \ge \left({2m - 1} \right)\left({2m + 1} \right) \left(* \right)\end{array}\)
+) Nếu \(2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{\left({2m - 1} \right)\left({2m + 1} \right)}}{{2m - 1}} = 2m + 1\)
\(\Rightarrow S = \left[ {2m + 1; + \infty } \right)\)
+) Nếu \(2m - 1 < 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{2}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x \le \dfrac{{\left({2m - 1} \right)\left({2m + 1} \right)}}{{2m - 1}} = 2m + 1\)
\(\Rightarrow S = \left( { - \infty; 2m + 1} \right]\)
+) Nếu \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow 0x \ge 0\) (luôn đúng)
\(\Rightarrow S = \mathbb{R}\)
Vậy,
+ Nếu \(m > {1 \over 2}\) thì \(S = [2m +1; +∞)\)
+ Nếu \(m < {1 \over 2}\) thì \(S = (-∞; 2m + 1]\)
+ Nếu \(m = {1 \over 2}\) thì \(S =\mathbb R\)
Câu c
\(x\left( {{m^2} - 1} \right) < {m^4} - 1\)Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}x\left( {{m^2} - 1} \right) < {m^4} - 1\\ \Leftrightarrow x\left({{m^2} - 1} \right) < \left({{m^2} - 1} \right)\left({{m^2} + 1} \right) \left(* \right)\end{array}\)
+) Nếu \({m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x < \dfrac{{\left({{m^2} - 1} \right)\left({{m^2} + 1} \right)}}{{{m^2} - 1}} = {m^2} + 1\)
\(\Rightarrow S = \left( { - \infty ;{m^2} + 1} \right)\)
+) Nếu \({m^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x > \dfrac{{\left({{m^2} - 1} \right)\left({{m^2} + 1} \right)}}{{{m^2} - 1}} = {m^2} + 1\)
\(\Rightarrow S = \left( {{m^2} + 1; + \infty } \right)\)
+) Nếu \({m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 1\end{array} \right.\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow 0x < 0\)(vô lý)
\(\Rightarrow S = \emptyset \)
Vậy,
+ Nếu \(\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\) thì \(S = \left( { - \infty ;{m^2} + 1} \right)\).
+ Nếu \(- 1 < m < 1\) \(S = \left( {{m^2} + 1; + \infty } \right)\).
+ Nếu \(m = \pm 1\) thì \(S = \emptyset \).
Câu d
\(2\left( {m + 1} \right)x \le {\left({m + 1} \right)^2}\left({x - 1} \right)\)Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}2\left( {m + 1} \right)x \le {\left({m + 1} \right)^2}\left({x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left({2m + 2} \right)x \le {\left({m + 1} \right)^2}x - {\left({m + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left({2m + 2 - {m^2} - 2m - 1} \right)x \le - {\left({m + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left({1 - {m^2}} \right)x \le - {\left({m + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left({{m^2} - 1} \right)x \ge {\left({m + 1} \right)^2}\end{array}\)
+) Nếu \({m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{{{\left({m + 1} \right)}^2}}}{{{m^2} - 1}} = \dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}\)
\(\Rightarrow S = \left[ {\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}; + \infty } \right)\)
+) Nếu \({m^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow x \le \dfrac{{{{\left({m + 1} \right)}^2}}}{{{m^2} - 1}} = \dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}\)
\(\Rightarrow S = \left( { - \infty ;\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}} \right]\)
+) Nếu \({m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 1\end{array} \right.\)
Với \(m = 1\) thì (*) là \(0x \ge 4\) (vô lý)
\(\Rightarrow S = \emptyset \)
Với \(m = - 1\) thì (*) là \(0x \ge 0\) (luôn đúng)
\(\Rightarrow S = \mathbb{R}\)
Vậy,
+ Nếu \(\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\) thì \(S = \left[ {\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}; + \infty } \right)\).
+ Nếu \(- 1 < m < 1\) thì \(S = \left( { - \infty ;\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}} \right]\).
+ Nếu \(m = 1\) thì \(S = \emptyset \).
+ Nếu \(m = - 1\) thì \(S = \mathbb{R}\).
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!