Bài 31 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho hai đường thẳng
\({d_1}:\left\{ \matrix{
x = 8 + t \hfill \cr 
y = 5 + 2t \hfill \cr 
z = 8 - t \hfill \cr} \right.\) và \({d_2}:{{3 - x} \over 7} = {{y - 1} \over 2} = {{z - 1} \over 3}\).

Câu a​

Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
Phương pháp giải:
Kiểm tra tích \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}}   \ne 0\)
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \({d_1}\) đi qua \({M_1}\left( {8; 5; 8} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1; 2; - 1} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) đi qua \({M_2}\left( {3; 1; 1} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 7; 2; 3} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = \left( {5; 4; 7} \right) ; \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left({8; 4; 16} \right)\).
Do đó \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = 168 \ne 0\).
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.

Câu b​

Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với \({d_1}\) và \({d_2}\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua O song song với cả \({d_1}\) và \({d_2}\).
\(Mp\left( \alpha  \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2; 1; 4} \right)\).
Vậy \(\left( \alpha  \right):2\left({x - 0} \right) + 1\left({y - 0} \right) + 4\left({z - 0} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x + y + 4z = 0\).
Rõ ràng \({M_1},{M_2} \notin \left( \alpha  \right)\).
Vậy \(\left( \alpha  \right)\) chính là mặt phẳng cần tìm.

Câu c​

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).
Phương pháp giải:
Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}\)
Lời giải chi tiết:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \({d_1}\) và \({d_2}\) là:
\(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} \) \(= {{168} \over {\sqrt {{8^2} + {4^2} + {{16}^2}} }} = 2\sqrt {21} \)

Câu d​

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết:
Giả sử PQ là đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) với \(P \in {d_1} ; Q \in {d_2}\). Khi đó ta có các giá trị t và t’ sao cho: \(P\left( {8 + t; 5 + 2t; 8 - t} \right), Q\left({3 - 7t' ; 1 + 2t' ; 1 + 3t'} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 5 - 7t' - t; - 4 + 2t' - 2t; - 7 + 3t' + t} \right)\).
Vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) đồng thời vuông góc với hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) nên
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_1}} = 0 \hfill \cr 
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 5 - 7t' - t + 2\left({ - 4 + 2t' - 2t} \right) - \left({ - 7 + 3t' + t} \right) = 0 \hfill \cr 
- 7\left({ - 5 - 7t' - t} \right) + 2\left({ - 4 + 2t' - 2t} \right) + 3\left({ - 7 + 3t' + t} \right) = 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 6t' - 6t = 6 \hfill \cr 
62t' + 6t = - 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t' = 0 \hfill \cr 
t = - 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(P\left( {7; 3; 9} \right) , Q\left({3; 1; 1} \right)\) và do đó, đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình:
\({{x - 3} \over {7 - 3}} = {{y - 1} \over {3 - 1}} = {{z - 1} \over {9 - 1}} \) \(\Leftrightarrow {{x - 3} \over 2} = {{y - 1} \over 1} = {{z - 1} \over 4}\)