Bài 24 trang 102 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:

Câu a​

Các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.
Phương pháp giải:
Đường thẳng đi qua điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) và nhận véc tơ \(\overrightarrow n  = \left( {a; b; c} \right)\) làm VTCP có phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + at\\
y = {y_0} + bt\\
z = {z_0} + ct
\end{array} \right., t \in R\)
Lời giải chi tiết:
Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i  = \left( {1; 0; 0} \right)\) nên có phương trình tham số là
\(\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = 0 \hfill \cr 
z = 0 \hfill \cr} \right.\)
Tương tự, trục Oy có phương trình tham số là
\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
y = t \hfill \cr 
z = 0 \hfill \cr} \right.\)
Trục Oz có phương trình tham số là
\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
y = 0 \hfill \cr 
z = t \hfill \cr} \right.\)
Các phương trình đó không có phương trình chính tắc.

Câu b​

Các đường thẳng đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) (với \({x_0}.{y_0}.{z_0} \ne 0\)) và song song với mỗi trục tọa độ;
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) song song với trục Ox có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i  = \left( {1; 0; 0} \right)\) nên có phương trình tham số là
\(\left\{ \matrix{
x = {x_0} + t \hfill \cr 
y = {y_0} \hfill \cr 
z = {z_0} \hfill \cr} \right.\)
Tương tự đường thẳng đi qua \({M_0}\) với trục Oy có phương trình tham số là \(\left\{ \matrix{
x = {x_0} \hfill \cr 
y = {y_0} + t \hfill \cr 
z = {z_0} \hfill \cr} \right.\)
Đường thẳng đi qua \({M_0}\) với trục Oz có phương trình tham số là
\(\left\{ \matrix{
x = {x_0} \hfill \cr 
y = {y_0} \hfill \cr 
z = {z_0} + t \hfill \cr} \right.\)
Các đường thẳng trên không có phương trình chính tắc.

Câu c​

Đường thẳng đi qua \(M\left( {2; 0; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - 1; 3; 5} \right)\);
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng đi qua \(M\left( {2; 0; - 1} \right)\) có vectơ chỉ phương có phương trình tham số: \(\overrightarrow u  = \left( { - 1; 3; 5} \right)\) Tương tự đường thẳng đi qua \({M_0}\) với trục Oy có phương trình tham số là
\(\left\{ \matrix{
x = 2 - t \hfill \cr 
y = 3t \hfill \cr 
z = - 1 + 5t \hfill \cr} \right.\) và có phương trình chính tắc \({{x - 2} \over { - 1}} = {y \over 3} = {{z + 1} \over 5}\).

Câu d​

Đường thẳng đi qua \(N\left( { - 2; 1; 2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {0; 0; - 3} \right)\);
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng đi qua \(N\left( { - 2; 1; 2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {0; 0; - 3} \right)\) có phương trình tham số
\(\left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr 
y = 1 \hfill \cr 
z = 2 - 3t \hfill \cr} \right.\)
Không có phương trình chính tắc.

Câu e​

Đường thẳng đi qua \(N\left( {3; 2; 1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(2x - 5y + 4 = 0\);
Lời giải chi tiết:
Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \) của đường thẳng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(2x - 5y + 4 = 0\) nên \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 5; 0} \right)\).
Vậy đường thẳng có phương trình tham số
\(\left\{ \matrix{
x = 3 + 2t \hfill \cr 
y = 2 - 5t \hfill \cr 
z = 1 \hfill \cr} \right.\)
Không có phương trình chính tắc.

Câu g​

Đường thẳng đi qua \(P\left( {2; 3; - 1} \right)\) và \(Q\left( {1; 2; 4} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng đi qua \(P\left( {2; 3; - 1} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 1; - 1; 5} \right)\) nên có phương trình tham số là
\(\left\{ \matrix{
x = 2 - t \hfill \cr 
y = 3 - t \hfill \cr 
z = - 1 + 5t \hfill \cr} \right.\)
và có phương trình chính tắc là \({{x - 2} \over { - 1}} = {{y - 3} \over { - 1}} = {{z + 1} \over 5}\)