Bài 35 SGK trang 104 Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:

Câu a​

\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr 
y = - 1 - t \hfill \cr 
z = 1 \hfill \cr} \right.\) và
\(d':\left\{ \matrix{
x = {2 - 3t'} \hfill \cr 
y ={ - 2 + 3t'} \hfill \cr 
z = 3 \hfill \cr} \right.\)
Phương pháp giải:
- Chứng minh d//d'
- Tính d(d, d')=d(M, d').
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d đi qua \({M_1}\left( {1; - 1; 1} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1; 0} \right)\).
Đường thẳng d’ đi qua điểm \({M_2}\left( {2; - 2; 3} \right)\), có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 1; 1; 0} \right)\). Vì \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương nhưng \(\overrightarrow {{u_1}} \); \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương với \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {1; - 1; 2} \right)\) nên hai đường thẳng đó song song.
Vậy khoảng cách giữa d và d’ là khoảng cách từ \(M_1\)(1, -1,1) ∈ d đến đường thẳng d’ và bằng : \(d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\)
Ta có: \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {1; - 1; 2} \right)\)  suy ra \(\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 6; - 6; 0} \right)\)
Vậy khoảng cách cần tìm là:
\(d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\)\(= \frac{{\sqrt {36 + 36 + 0} }}{{\sqrt {6 + 9} }} = 2\)

Câu b​

\(d: {x \over { - 1}} = {{y - 4} \over 1} = {{z + 1} \over { - 2}}\) và
\(d':\left\{ \matrix{
x ={ - t'} \hfill \cr 
y = {2 + 3t'} \hfill \cr 
z = {- 4 + 3t'} \hfill \cr} \right.\)
Phương pháp giải:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: \(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}\)
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d đi qua \(M\left( {0; 4; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - 1; 1; - 2} \right)\).
Đường thẳng d’ đi qua \(M'\left( {0; 2; - 4} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'}  = \left( { - 1; 3; 3} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {0; - 2; - 3} \right);\) \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {9; 5; - 2} \right)\).
\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'}  =  - 4 \ne 0 \)
\(\Rightarrow d\) và d’ chéo nhau.
Khoảng cách giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) là:
\(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = {4 \over {\sqrt {{9^2} + {5^2} + {2^2}} }} = {{2\sqrt {110} } \over {55}}\)