Google
Câu hỏi: Viết phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {1; - 1; 1} \right)\) và cắt cả hai đường thẳng sau:
\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = 3 - t \hfill \cr} \right.\) \(d':\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = - 1 - 2t \hfill \cr
z = 2 + t \hfill \cr} \right.\)
\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = 3 - t \hfill \cr} \right.\) \(d':\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = - 1 - 2t \hfill \cr
z = 2 + t \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết
Lấy điểm \(M\left( {1 + 2t, t, 3 - 1} \right)\) nằm trên d và điểm \(M'\left( {t', - 1 - 2t', 2 + t'} \right)\) nằm trên d’.
Rõ ràng \(A \notin d\) và \(A \notin d'\). Ta tìm t và t’ sao cho A, M, M’ thẳng hàng, tức \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM'} \) cùng phương.
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {2t, 1 + t, 2 - t} \right);\) \(\overrightarrow {AM'} = \left( { - 1 + t', - 2t', 1 + t'} \right)\).
Do đó:
$$\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM'} } \right] \cr&= \left( {\left| \matrix{
{1 + t} {2 - t} \hfill \cr
- 2t' {1 + t'} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
{2 - t} 2t \hfill \cr
{1 + t'} {- 1 + t' }\hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2t {1 + t} \hfill \cr
{- 1 + t'} { - 2t'} \hfill \cr} \right|} \right) \cr
& = \left( {1 + t + 5t' - tt'; - 2 - t + 2t' - 3tt';1 + t - t' - 5tt'} \right) \cr}$$
Hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM'} \) cùng phương khi và chỉ khi \(\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM'} } \right] = \overrightarrow 0 \) hay:
\(\left\{ \matrix{
1 + t + 5t' - tt' = 0 \hfill \cr
- 2 - t + 2t' - 3tt' = 0 \hfill \cr
1 + t - t' - 5tt' = 0 \hfill \cr} \right.\)
Khử số hạng tt’ từ các phương trình trên, ta được hệ
\(\left\{ \matrix{
5 + 4t + 13t' = 0 \hfill \cr
4 + 4t + 26t' = 0 \hfill \cr} \right.\).
Suy ra \(t = - {3 \over 2}; t' = {1 \over {13}}\). Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \left( { - 3; - {1 \over 2};{7 \over 2}} \right)\).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua A và M, \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AM} = \left( { - 6; - 1; 7} \right)\) nên có phương trình tham số là:
\(\left\{ \matrix{
x = 1 - 6t \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr
z = 1 + 7t \hfill \cr} \right.\)
Cách khác:
Gọi Δ là đường thẳng cần tìm, ta có Δ =(P)∩(Q), trong đó (P) chứa A và d và (Q) chứa A và d’.
Đường thẳng d đi qua Mo (1,0,3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; 1; - 1} \right)\) nên mp(P) đi qua A(1, -1,1) và nhận \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{M_0}A} } \right] = \left( { - 3; 4; - 2} \right)\) là vectơ pháp tuyến.
Suy ra mp(P) có phương trình: -3x+4y-2z+9=0
Tương tự mp(Q) có phương trình: x+y+z-1=0
Vậy phương trình của Δ là \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 2z + 9 = 0\\x + y + z - 1 = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 6t\\y = - 1 - t\\z = 1 + 7t\end{array} \right., t \in \mathbb{R}\).
Lấy điểm \(M\left( {1 + 2t, t, 3 - 1} \right)\) nằm trên d và điểm \(M'\left( {t', - 1 - 2t', 2 + t'} \right)\) nằm trên d’.
Rõ ràng \(A \notin d\) và \(A \notin d'\). Ta tìm t và t’ sao cho A, M, M’ thẳng hàng, tức \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM'} \) cùng phương.
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {2t, 1 + t, 2 - t} \right);\) \(\overrightarrow {AM'} = \left( { - 1 + t', - 2t', 1 + t'} \right)\).
Do đó:
$$\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM'} } \right] \cr&= \left( {\left| \matrix{
{1 + t} {2 - t} \hfill \cr
- 2t' {1 + t'} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
{2 - t} 2t \hfill \cr
{1 + t'} {- 1 + t' }\hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2t {1 + t} \hfill \cr
{- 1 + t'} { - 2t'} \hfill \cr} \right|} \right) \cr
& = \left( {1 + t + 5t' - tt'; - 2 - t + 2t' - 3tt';1 + t - t' - 5tt'} \right) \cr}$$
Hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM'} \) cùng phương khi và chỉ khi \(\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM'} } \right] = \overrightarrow 0 \) hay:
\(\left\{ \matrix{
1 + t + 5t' - tt' = 0 \hfill \cr
- 2 - t + 2t' - 3tt' = 0 \hfill \cr
1 + t - t' - 5tt' = 0 \hfill \cr} \right.\)
Khử số hạng tt’ từ các phương trình trên, ta được hệ
\(\left\{ \matrix{
5 + 4t + 13t' = 0 \hfill \cr
4 + 4t + 26t' = 0 \hfill \cr} \right.\).
Suy ra \(t = - {3 \over 2}; t' = {1 \over {13}}\). Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \left( { - 3; - {1 \over 2};{7 \over 2}} \right)\).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua A và M, \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AM} = \left( { - 6; - 1; 7} \right)\) nên có phương trình tham số là:
\(\left\{ \matrix{
x = 1 - 6t \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr
z = 1 + 7t \hfill \cr} \right.\)
Cách khác:
Gọi Δ là đường thẳng cần tìm, ta có Δ =(P)∩(Q), trong đó (P) chứa A và d và (Q) chứa A và d’.
Đường thẳng d đi qua Mo (1,0,3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; 1; - 1} \right)\) nên mp(P) đi qua A(1, -1,1) và nhận \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{M_0}A} } \right] = \left( { - 3; 4; - 2} \right)\) là vectơ pháp tuyến.
Suy ra mp(P) có phương trình: -3x+4y-2z+9=0
Tương tự mp(Q) có phương trình: x+y+z-1=0
Vậy phương trình của Δ là \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 2z + 9 = 0\\x + y + z - 1 = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 6t\\y = - 1 - t\\z = 1 + 7t\end{array} \right., t \in \mathbb{R}\).