Bài 28 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi phương trình:

Câu a​

\(d:{{x - 1} \over 2} = y - 7 = {{z - 3} \over 4} ; d':{{x - 3} \over 6} = {{y + 1} \over { - 2}} = {{z + 2} \over 1}\)
Phương pháp giải:
Kiểm tra tích \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow u '} \right].\overrightarrow {MM'} \) so với 0.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d đi qua M(1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; 1; 4} \right)\).
Đường thẳng d’ đi qua \(M'\left( {3; - 1; - 2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ' = \left( {6; - 2; 1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {2; - 8; - 5} \right)\) và \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow u '} \right] = \left( {9; 22; - 10} \right)\) \(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow u '} \right].\overrightarrow {MM'}  =  - 108 \ne 0\).
Vậy d và d’ chéo nhau.

Câu b​

\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = - 3 - 4t \hfill \cr 
z = - 3 - 3t \hfill \cr} \right.\)
d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + y - z = 0,\) \(\left( {\alpha '} \right):2x - y + 2z = 0\).
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d đi qua \(M\left( {0; - 3; - 3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 4; - 3} \right)\)
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương

D và d’ có cùng vectơ chỉ phương và \(M\left( {0; - 3; - 3} \right)\) không nằm trên d’ nên d và d’ song song.
Cách khác:
Thay x, y, z ở phương trình tham số của d vào phương trình (α) ta được:
t-3-4t+3+3t=0 <=> 0 = 0 (đúng với ∀t)
Vậy d ⊂ (α) (1)
Thay x, y, z ở phương trình tham số của d vào phương trình (α') ta được:
2t+3+4t-6-6t=0 <=> -3=0 (vô nghiệm)
Vậy d // α' (2)
Từ (1) và (2) suy ra: d // d’.