Bài 3 trang 49 SGK Đại số 10

Câu hỏi: Xác định parabol \(y = ax^2+ bx + 2\), biết rằng parabol đó:

Câu a​

Đi qua hai điểm \(M(1; 5)\) và \(N(- 2; 8)\);
Phương pháp giải:
Thay tọa độ các điểm M, N vào phương trình parabol.
Giải hệ phương trình và kết luận.
Lời giải chi tiết:
+ Parabol y = ax2​ + bx + 2 đi qua M(1; 5)
\(\Rightarrow 5 = a{. 1^2} + b. 1 + 2 \) \(\Leftrightarrow 5 = a + b + 2 \) \(\Leftrightarrow a + b = 3\) (1)
+ Parabol y = ax2​ + bx + 2 đi qua N(–2; 8)
⇒ 8 = a.(–2)2​ + b.(–2) + 2 \( \Rightarrow 8 = 4a - 2b + 2\) ⇒ 4a – 2b = 6 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} a+b=3\\ 4a-2b=6 \end{matrix}\right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 1
\end{array} \right.\)
Parabol có phương trình là: \(y = 2x^2 + x + 2\).

Câu b​

Đi qua điểm \(A(3;- 4)\) và có trục đối xứng là \(x=-\frac{3}{2}.\)
Phương pháp giải:
Trục đối xứng của parabol là: \(x=-\frac{b}{2a}\) suy ra một phương trình.
Thay tọa độ của A vào ta được một phương trình nữa.
Giải hệ ta được a, b.
Lời giải chi tiết:
+ Parabol y = ax2​ + bx + 2 đi qua điểm A(3; –4)
⇒ –4 = a. 32​ + b. 3 + 2 \( \Rightarrow  - 4 = 9a + 3b + 2\)
⇒ 9a + 3b = –6 (1)
+ Parabol có trục đối xứng là \(x=-\frac{3}{2}\) nên ta có:
\(-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}\) \( \Leftrightarrow \frac{b}{{2a}} = \frac{3}{2}\) \(\Leftrightarrow 2b = 6a \Leftrightarrow 6a - 2b = 0\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}
9a + 3b = - 6\\
6a - 2b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - \frac{1}{3}\\
b = - 1
\end{array} \right.\)
Phương trình parabol cần tìm là: \(y = -\frac{1}{3} x^2- x + 2\).

Câu c​

Có đỉnh là \(I(2;- 2)\);
Phương pháp giải:
Đỉnh của parabol là: \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Parabol có đỉnh \(I(2;- 2)\) nên parabol đi qua \(I\)
\(\Rightarrow  - 2 = a{. 2^2} + b. 2 + 2 \) \(\Rightarrow  - 2 = 4a + 2b + 2 \)
\(\Rightarrow 4a + 2b =  - 4\) (1)
Parabol có đỉnh \(I(2;- 2)\) nên \( -\frac{b}{2a}=2\)
\(\Leftrightarrow  - b = 4a \Leftrightarrow 4a + b = 0\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}
4a + 2b = - 4\\
4a + b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = - 4
\end{array} \right.\)
Phương trình parabol cần tìm là: \(y = x^2- 4x + 2\).
Cách khác:
Parabol y = ax2​ + bx + 2 có đỉnh I(2 ; –2), suy ra :
\(\begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2 \Leftrightarrow b =  - 4a \left( 1 \right)\\ - \frac{\Delta }{{4a}} =  - 2 \Leftrightarrow \Delta  = 8a\\ \Rightarrow {b^2} - 4a. 2 = 8a\\ \Leftrightarrow {b^2} - 8a = 8a\\ \Leftrightarrow {b^2} = 16a \left(2 \right)\end{array}\)
Từ (1) ⇒ b2​ = 16. A2​, thay vào (2) ta được
16a2​ = 16a \(\Leftrightarrow 16{a^2} - 16a = 0\) \(\Leftrightarrow 16a\left( {a - 1} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\left( {loai} \right)\\a = 1\left({TM} \right)\end{array} \right.\)
Với a = 1 thì b = -4.1 = –4.
Vậy parabol cần tìm là y = x2​ – 4x + 2.

Câu d​

Đi qua điểm \(B(- 1; 6)\) và tung độ của đỉnh là \(-\frac{1}{4}.\)
Phương pháp giải:
Trục đối xứng của parabol là: \(x=-\frac{b}{2a}.\)
Đỉnh của parabol là: \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
+ Parabol y = ax2​ + bx + 2 đi qua điểm B(–1; 6)
⇒ 6 = a.(–1)2​ + b.(–1) + 2 \(\Rightarrow 6 = a - b + 2\)
⇒ a - b = 4 (1)
+ Parabol có tung độ của đỉnh là \(-\frac{1}{4}\) nên ta có:
\({ - \frac{\Delta }{{4a}}}=-\frac{1}{4} \) \( \Leftrightarrow 4\Delta  = 4a \Leftrightarrow \Delta  = a \) \(\Leftrightarrow {b^2} - 4a. 2 = a \Leftrightarrow {b^2} - 8a = a \)
\(\Leftrightarrow {b^2} = 9a\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a - b = 4\\
{b^2} =9a
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4 + b\\
{b^2} - 9a = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4 + b\\
{b^2} - 9\left({4 + b} \right) = 0
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4 + b\\
{b^2} - 9b - 36 = 0
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b =  - 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 16\\
b = 12
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\)
Phương trình parabol cần tìm là: \(y = 16x^2+ 12x + 2\) hoặc \(y = x^2- 3x + 2\).