Google
Câu hỏi: Xác định \(a, b, c\), biết parabol \(y = ax^2+ bx + c\) đi qua điểm \(A(8; 0)\) và có đỉnh \(I(6; - 12)\).
Phương pháp giải
Tọa độ đỉnh của parabol: \(y = ax^2+ bx + c\) là: \(I\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)\)
Lời giải chi tiết
Parabol đi qua điểm \(A(8; 0)\) nên tọa độ điểm \(A\) là nghiệm đúng phương trình của parabol ta có:
\(a. 8^2+b. 8+c=0\) \( \Leftrightarrow 64a + 8b + c = 0\) (1)
Parabol có đỉnh \(I(6; - 12)\) nên ta có:
\(- \frac{b}{{2a}} = 6 \Leftrightarrow - b = 6.2a \)
\(\Leftrightarrow - b = 12a \Leftrightarrow 12a + b = 0\) (2)
\(- \frac{\Delta }{{4a}} = - 12 \Leftrightarrow \frac{\Delta }{{4a}} = 12 \)
\(\Leftrightarrow \Delta = 12.4a \Leftrightarrow {b^2} - 4ac = 48a\) (3)
\(\begin{array}{l}
\left(2 \right) \Rightarrow b = - 12a\\
\text {Thay vào } \left(3 \right): 144{a^2} -4ac = 48a \\ \Leftrightarrow 144{a^2} - 48a = 4ac\\ \Leftrightarrow c = \dfrac{{144{a^2} - 48a}}{{4a}} = 36a - 12 \left(4 \right)
\end{array}\)
Thay (2) và (4) vào (1) ta được: \(\begin{array}{l}
64a + 8.\left({ - 12a} \right) + 36a - 12 = 0\\
\Leftrightarrow 64a - 96a + 36a - 12 = 0\\ \Leftrightarrow 4a - 12 = 0
\Leftrightarrow a = 3
\end{array}\)
Khi đó \(b = -36\) ; \(c= 96\)
Phương trình parabol cần tìm là: \(y = 3x^2- 36x + 96\).
Cách khác:
Parabol đi qua điểm \(A(8; 0)\) nên tọa độ điểm \(A\) là nghiệm đúng phương trình của parabol ta có:
\(a. 8^2+b. 8+c=0\) \( \Leftrightarrow 64a + 8b + c = 0\) (1)
Parabol có đỉnh \(I(6; - 12)\) nên ta có:
\(- \frac{b}{{2a}} = 6 \Leftrightarrow - b = 12a\)
\(\Leftrightarrow 12a + b = 0\) (2)
Mà parabol có đỉnh I(6;-12) nghĩa là đi qua điểm I(6;-12)
Do đó \(a{. 6^2} + b. 6 + c = - 12\) \(\Leftrightarrow 36a + 6b + c = - 12\left( 3 \right)\)
Từ (1) (2) và (3) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}64a + 8b + c = 0\\12a + b = 0\\36a + 6b + c = - 12\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 36\\c = 96\end{array} \right.\)
Vậy phương trình parabol cần tìm là \(y = 3{x^2} - 36x + 96\).
Tọa độ đỉnh của parabol: \(y = ax^2+ bx + c\) là: \(I\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)\)
Lời giải chi tiết
Parabol đi qua điểm \(A(8; 0)\) nên tọa độ điểm \(A\) là nghiệm đúng phương trình của parabol ta có:
\(a. 8^2+b. 8+c=0\) \( \Leftrightarrow 64a + 8b + c = 0\) (1)
Parabol có đỉnh \(I(6; - 12)\) nên ta có:
\(- \frac{b}{{2a}} = 6 \Leftrightarrow - b = 6.2a \)
\(\Leftrightarrow - b = 12a \Leftrightarrow 12a + b = 0\) (2)
\(- \frac{\Delta }{{4a}} = - 12 \Leftrightarrow \frac{\Delta }{{4a}} = 12 \)
\(\Leftrightarrow \Delta = 12.4a \Leftrightarrow {b^2} - 4ac = 48a\) (3)
\(\begin{array}{l}
\left(2 \right) \Rightarrow b = - 12a\\
\text {Thay vào } \left(3 \right): 144{a^2} -4ac = 48a \\ \Leftrightarrow 144{a^2} - 48a = 4ac\\ \Leftrightarrow c = \dfrac{{144{a^2} - 48a}}{{4a}} = 36a - 12 \left(4 \right)
\end{array}\)
Thay (2) và (4) vào (1) ta được: \(\begin{array}{l}
64a + 8.\left({ - 12a} \right) + 36a - 12 = 0\\
\Leftrightarrow 64a - 96a + 36a - 12 = 0\\ \Leftrightarrow 4a - 12 = 0
\Leftrightarrow a = 3
\end{array}\)
Khi đó \(b = -36\) ; \(c= 96\)
Phương trình parabol cần tìm là: \(y = 3x^2- 36x + 96\).
Cách khác:
Parabol đi qua điểm \(A(8; 0)\) nên tọa độ điểm \(A\) là nghiệm đúng phương trình của parabol ta có:
\(a. 8^2+b. 8+c=0\) \( \Leftrightarrow 64a + 8b + c = 0\) (1)
Parabol có đỉnh \(I(6; - 12)\) nên ta có:
\(- \frac{b}{{2a}} = 6 \Leftrightarrow - b = 12a\)
\(\Leftrightarrow 12a + b = 0\) (2)
Mà parabol có đỉnh I(6;-12) nghĩa là đi qua điểm I(6;-12)
Do đó \(a{. 6^2} + b. 6 + c = - 12\) \(\Leftrightarrow 36a + 6b + c = - 12\left( 3 \right)\)
Từ (1) (2) và (3) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}64a + 8b + c = 0\\12a + b = 0\\36a + 6b + c = - 12\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 36\\c = 96\end{array} \right.\)
Vậy phương trình parabol cần tìm là \(y = 3{x^2} - 36x + 96\).