Bài 3 trang 24 SGK Giải tích 12

Phương pháp giải
+) Cho hình chữ nhật có chiều dài là x và chiều rộng là y.
+) Chu vi của hình chữ nhật đó là: $P=2\left( x+y \right).$
+) Diện tích của hình chữ nhật đó là: $S=xy.$
Lập hàm số $P\left(x\right)$, xét hàm suy ra GTNN.
Lời giải chi tiết
Gọi chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là $x;\ y\ \left( m \right),\ \ \left( x;\ y > 0 \right).$
Theo đề bài ta có diện tích hình chữ nhật là $48\ {{m}^{2}}\Rightarrow xy=48\Leftrightarrow y=\dfrac{48}{x}.$
$\Rightarrow $ Chu vi hình chữ nhật đó là: $P=2\left( x+y \right)=2\left( x+\dfrac{48}{x} \right).$
Xét hàm số $P\left( x \right)=2\left( x+\dfrac{48}{x} \right)$ trên $\left( 0;+\infty  \right)$ ta có:
$\begin{array}{l}
P'\left( x \right) = 2\left( {1 - \dfrac{{48}}{{{x^2}}}} \right)\\= 2\left( {\dfrac{{{x^2} - 48}}{{{x^2}}}} \right)\\ \Rightarrow P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 48 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} = 48 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 4\sqrt 3  \in \left( {0; + \infty } \right)\\
x = - 4\sqrt 3\notin \left( {0; + \infty } \right)
\end{array} \right..
\end{array}$
Ta có: $P\left( 4\sqrt{3} \right)=16\sqrt{3}.$

Vậy hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất là hình vuông có cạnh $4\sqrt{3}m.$