Google
Câu hỏi:
$y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}9x{\rm{ }} + {\rm{ }}35$ trên các đoạn $[-4; 4]$ và $[0;5]$ ;
Phương pháp giải:
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ a;\ b \right]$ ta làm như sau :
+) Tìm các điểm ${{x}_{1}};\ {{x}_{2}};\ {{x}_{3}};...;\ {{x}_{n}}$ thuộc đoạn $\left[ a;\ b \right]$ mà tại đó hàm số có đạo hàm $f'\left( x \right)=0$ hoặc không có đạo hàm.
+) Tính $f\left( {{x}_{1}} \right);\ \ f\left( {{x}_{2}} \right);\ \ f\left( {{x}_{3}} \right);...;\ \ f\left( {{x}_{n}} \right)$ và $f\left( a \right);\ f\left( b \right).$
+) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên $\left[ a;\ b \right]$ và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên $\left[ a;\ b \right]$.
$\begin{aligned}& \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)\cr&=\max \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);...;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ & \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)\cr&=\min \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);...;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ \end{aligned}$
Lời giải chi tiết:
$\displaystyle y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+35$
+) Xét $\displaystyle D=\left[ -4;\ 4 \right]$ có :
$\displaystyle y'=3{{x}^{2}}-6x-9$ $\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-9=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=3\ \in D \\ & x=-1\ \in D \\ \end{aligned} \right..$
Ta có : $\displaystyle y\left( -4 \right)=-41; y\left( 1 \right)=40;$ $y\left( 3 \right)=8; y\left( 4 \right)=15.$
Vậy $\displaystyle \underset{x\in \left[ -4;\ 4 \right]}{\mathop{\max }} y=40\ \ khi\ \ x=-1$ và $\displaystyle \underset{x\in \left[ -4;\ 4 \right]}{\mathop{\min }} y=-41\ \ khi\ \ x=-4.$
+) Xét $\displaystyle D=\left[ 0;\ 5 \right]$ có:
$\displaystyle y'=3{{x}^{2}}-6x-9$ $\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-9=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}& x=3\ \in D \\ & x=-1\ \notin D \\ \end{aligned} \right..$
Ta có : $\displaystyle y\left( 0 \right)=35;\ \ y\left( 3 \right)=8;$ $ y\left( 5 \right)=40.$
Vậy $\displaystyle \underset{x\in \left[ 0;\ 5 \right]}{\mathop{\max }} y=40\ \ khi\ \ x=5$ và $\displaystyle \underset{x\in \left[ 0;\ 5 \right]}{\mathop{\min }} y=8\ \ khi\ \ x=3.$
Lời giải chi tiết:
$\displaystyle y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2$
Ta có: $\displaystyle y'=4{{x}^{3}}-6x$ $\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-6x=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}& x=0 \\ & x=\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2} \\ & x=-\sqrt{\dfrac{3}{2}}=-\dfrac{\sqrt{6}}{2} \\ \end{aligned} \right.$
+) Xét $\displaystyle D=\left[ 0;\ 3 \right]$ có: $\displaystyle x=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}\notin D.$
Có: $\displaystyle y\left( 0 \right)=2;\ \ y\left( 3 \right)=56;$ $ y\left( \dfrac{\sqrt{6}}{2} \right)=-\dfrac{1}{4}.$
Vậy $\displaystyle \underset{x\in \left[ 0;\ 3 \right]}{\mathop{\min }} y=-\dfrac{1}{4}\ \ khi\ \ x=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ và $\displaystyle \underset{x\in \left[ 0;\ 3 \right]}{\mathop{\max }} y=56\ \ khi\ \ x=3.$
+) Xét $\displaystyle D=\left[ 2;\ 5 \right]$ ta thấy $\displaystyle x=0;\ \ x=\pm \dfrac{\sqrt{6}}{2}\ \ \notin \ D.$
Có $\displaystyle y\left( 2 \right)=6;\ \ y\left( 5 \right)=552.$
Vậy $\displaystyle \underset{x\in \left[ 2;\ 5 \right]}{\mathop{\min }} y=6\ \ khi\ \ x=2$ và $\displaystyle \underset{x\in \left[ 2;\ 5 \right]}{\mathop{\max }} y=552\ \ khi\ \ x=5.$
Lời giải chi tiết:
$\displaystyle y=\dfrac{2-x}{1-x}=\dfrac{x-2}{x-1}$. Tập xác định: $\displaystyle R\backslash \left\{ 1 \right\}.$
Ta có: $\displaystyle y'=\dfrac{1.\left( -1 \right)-1.\left( -2 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0\ \ \forall x\ne 1.$
+) Với $\displaystyle D=\left[ 2;\ 4 \right]$ có: $\displaystyle y\left( 2 \right)=0;\ \ y\left( 4 \right)=\dfrac{2}{3}.$
Vậy $\displaystyle \underset{x\in \left[ 2;\ 4 \right]}{\mathop{\min }} y=0\ \ khi\ \ x=2$ và $\displaystyle \underset{x\in \left[ 2;\ 4 \right]}{\mathop{\max }} y=\dfrac{2}{3}\ \ khi\ \ x=4.$
+) Với $\displaystyle D=\left[ -3;\ -2 \right]$ có: $\displaystyle y\left( -3 \right)=\dfrac{5}{4};\ \ y\left( -2 \right)=\dfrac{4}{3}.$
Vậy $\displaystyle \underset{x\in \left[ -3;\ -2 \right]}{\mathop{\min }} y=\dfrac{5}{4}\ \ khi\ \ x=-3$ và $\displaystyle \underset{x\in \left[ -3;\ -2 \right]}{\mathop{\max }} y=\dfrac{4}{3}\ \ khi\ \ x=-2.$
Lời giải chi tiết:
$\displaystyle y=\sqrt{5-4x}$. Tập xác định: $\displaystyle \left( -\infty ;\ \dfrac{5}{4} \right].$
Xét tập $\displaystyle D=\left[ -1;\ 1 \right]:$
Có: $\displaystyle y'=\dfrac{\left( 5-4x \right)'}{2\sqrt{5-4x}}=\dfrac{-2}{\sqrt{5-4x}}<0\ \forall x\in \left[ -1;\ 1 \right].$
Ta có: $\displaystyle y\left( -1 \right)=3;\ \ y\left( 1 \right)=1.$
Vậy $\displaystyle \underset{x\in \left[ -1;\ 1 \right]}{\mathop{\min }} y=1\ \ khi\ \ x=1$ và $\displaystyle \underset{x\in \left[ -1;\ 1 \right]}{\mathop{\max }} y=3\ \ khi\ \ x=-1.$
Câu a
Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:$y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}9x{\rm{ }} + {\rm{ }}35$ trên các đoạn $[-4; 4]$ và $[0;5]$ ;
Phương pháp giải:
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ a;\ b \right]$ ta làm như sau :
+) Tìm các điểm ${{x}_{1}};\ {{x}_{2}};\ {{x}_{3}};...;\ {{x}_{n}}$ thuộc đoạn $\left[ a;\ b \right]$ mà tại đó hàm số có đạo hàm $f'\left( x \right)=0$ hoặc không có đạo hàm.
+) Tính $f\left( {{x}_{1}} \right);\ \ f\left( {{x}_{2}} \right);\ \ f\left( {{x}_{3}} \right);...;\ \ f\left( {{x}_{n}} \right)$ và $f\left( a \right);\ f\left( b \right).$
+) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên $\left[ a;\ b \right]$ và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên $\left[ a;\ b \right]$.
$\begin{aligned}& \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)\cr&=\max \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);...;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ & \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)\cr&=\min \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);...;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ \end{aligned}$
Lời giải chi tiết:
$\displaystyle y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+35$
+) Xét $\displaystyle D=\left[ -4;\ 4 \right]$ có :
$\displaystyle y'=3{{x}^{2}}-6x-9$ $\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-9=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=3\ \in D \\ & x=-1\ \in D \\ \end{aligned} \right..$
Ta có : $\displaystyle y\left( -4 \right)=-41; y\left( 1 \right)=40;$ $y\left( 3 \right)=8; y\left( 4 \right)=15.$
Vậy $\displaystyle \underset{x\in \left[ -4;\ 4 \right]}{\mathop{\max }} y=40\ \ khi\ \ x=-1$ và $\displaystyle \underset{x\in \left[ -4;\ 4 \right]}{\mathop{\min }} y=-41\ \ khi\ \ x=-4.$
+) Xét $\displaystyle D=\left[ 0;\ 5 \right]$ có:
$\displaystyle y'=3{{x}^{2}}-6x-9$ $\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-9=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}& x=3\ \in D \\ & x=-1\ \notin D \\ \end{aligned} \right..$
Ta có : $\displaystyle y\left( 0 \right)=35;\ \ y\left( 3 \right)=8;$ $ y\left( 5 \right)=40.$
Vậy $\displaystyle \underset{x\in \left[ 0;\ 5 \right]}{\mathop{\max }} y=40\ \ khi\ \ x=5$ và $\displaystyle \underset{x\in \left[ 0;\ 5 \right]}{\mathop{\min }} y=8\ \ khi\ \ x=3.$
Câu b
$y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}2$ trên các đoạn $[0;3]$ và $[2;5]$ ;Lời giải chi tiết:
$\displaystyle y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2$
Ta có: $\displaystyle y'=4{{x}^{3}}-6x$ $\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-6x=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}& x=0 \\ & x=\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2} \\ & x=-\sqrt{\dfrac{3}{2}}=-\dfrac{\sqrt{6}}{2} \\ \end{aligned} \right.$
+) Xét $\displaystyle D=\left[ 0;\ 3 \right]$ có: $\displaystyle x=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}\notin D.$
Có: $\displaystyle y\left( 0 \right)=2;\ \ y\left( 3 \right)=56;$ $ y\left( \dfrac{\sqrt{6}}{2} \right)=-\dfrac{1}{4}.$
Vậy $\displaystyle \underset{x\in \left[ 0;\ 3 \right]}{\mathop{\min }} y=-\dfrac{1}{4}\ \ khi\ \ x=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ và $\displaystyle \underset{x\in \left[ 0;\ 3 \right]}{\mathop{\max }} y=56\ \ khi\ \ x=3.$
+) Xét $\displaystyle D=\left[ 2;\ 5 \right]$ ta thấy $\displaystyle x=0;\ \ x=\pm \dfrac{\sqrt{6}}{2}\ \ \notin \ D.$
Có $\displaystyle y\left( 2 \right)=6;\ \ y\left( 5 \right)=552.$
Vậy $\displaystyle \underset{x\in \left[ 2;\ 5 \right]}{\mathop{\min }} y=6\ \ khi\ \ x=2$ và $\displaystyle \underset{x\in \left[ 2;\ 5 \right]}{\mathop{\max }} y=552\ \ khi\ \ x=5.$
Câu c
$y = {{2 - x} \over {1 - x}}$ trên các đoạn $[2;4]$ và $[-3;-2]$ ;Lời giải chi tiết:
$\displaystyle y=\dfrac{2-x}{1-x}=\dfrac{x-2}{x-1}$. Tập xác định: $\displaystyle R\backslash \left\{ 1 \right\}.$
Ta có: $\displaystyle y'=\dfrac{1.\left( -1 \right)-1.\left( -2 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0\ \ \forall x\ne 1.$
+) Với $\displaystyle D=\left[ 2;\ 4 \right]$ có: $\displaystyle y\left( 2 \right)=0;\ \ y\left( 4 \right)=\dfrac{2}{3}.$
Vậy $\displaystyle \underset{x\in \left[ 2;\ 4 \right]}{\mathop{\min }} y=0\ \ khi\ \ x=2$ và $\displaystyle \underset{x\in \left[ 2;\ 4 \right]}{\mathop{\max }} y=\dfrac{2}{3}\ \ khi\ \ x=4.$
+) Với $\displaystyle D=\left[ -3;\ -2 \right]$ có: $\displaystyle y\left( -3 \right)=\dfrac{5}{4};\ \ y\left( -2 \right)=\dfrac{4}{3}.$
Vậy $\displaystyle \underset{x\in \left[ -3;\ -2 \right]}{\mathop{\min }} y=\dfrac{5}{4}\ \ khi\ \ x=-3$ và $\displaystyle \underset{x\in \left[ -3;\ -2 \right]}{\mathop{\max }} y=\dfrac{4}{3}\ \ khi\ \ x=-2.$
Câu d
$y = \sqrt {5 - 4{\rm{x}}}$ trên đoạn $[-1;1]$.Lời giải chi tiết:
$\displaystyle y=\sqrt{5-4x}$. Tập xác định: $\displaystyle \left( -\infty ;\ \dfrac{5}{4} \right].$
Xét tập $\displaystyle D=\left[ -1;\ 1 \right]:$
Có: $\displaystyle y'=\dfrac{\left( 5-4x \right)'}{2\sqrt{5-4x}}=\dfrac{-2}{\sqrt{5-4x}}<0\ \forall x\in \left[ -1;\ 1 \right].$
Ta có: $\displaystyle y\left( -1 \right)=3;\ \ y\left( 1 \right)=1.$
Vậy $\displaystyle \underset{x\in \left[ -1;\ 1 \right]}{\mathop{\min }} y=1\ \ khi\ \ x=1$ và $\displaystyle \underset{x\in \left[ -1;\ 1 \right]}{\mathop{\max }} y=3\ \ khi\ \ x=-1.$
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!