Google
Câu hỏi: Cho elip (E) : \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\) và đường thẳng \(\Delta \) thay đổi có phương trình tổng quát \(Ax + By + C = 0\) luôn thỏa mãn \(25{A^2} + 9{B^2} = {C^2}\). Tính tích khoảng cách từ hai tiêu điểm \({F_1}\), \({F_2}\) của (E) đến đường thẳng \(\Delta \).
Phương pháp giải
- Xác định \(a, b \Rightarrow c\) và tọa độ hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\).
- Sử dụng công thức tính khoảng cách tìm \(d\left( {{F_1},\Delta } \right), d\left({{F_2},\Delta } \right)\).
- Tính tích hai khoảng cách trên và kết luận.
Lời giải chi tiết
\((E):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Ta có : \({a^2} = 25,{b^2} = 9 \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 16\) \(\Rightarrow c = 4.\)
Vậy (E) có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 4; 0} \right)\) và \({F_2}\left( {4; 0} \right)\). Ta có :
\({d_1} = d({F_1},\Delta) = \dfrac{{\left| { - 4A + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\), \({d_2} = d({F_2},\Delta) = \dfrac{{\left| {4A + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\) .
Suy ra \({d_1}{d_2} = \dfrac{{\left| {{C^2} - 16{A^2}} \right|}}{{{A^2} + {B^2}}}\) (1)
Thay \({C^2} = 25{A^2} + 9{B^2}\) vào (1) ta được :
\({d_1}{d_2} = \dfrac{{\left| {25{A^2} + 9{B^2} - 16{A^2}} \right|}}{{{A^2} + {B^2}}} = \dfrac{{9({A^2} + {B^2})}}{{{A^2} + {B^2}}}\).
Vậy \({d_1}{d_2} = 9.\)
- Xác định \(a, b \Rightarrow c\) và tọa độ hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\).
- Sử dụng công thức tính khoảng cách tìm \(d\left( {{F_1},\Delta } \right), d\left({{F_2},\Delta } \right)\).
- Tính tích hai khoảng cách trên và kết luận.
Lời giải chi tiết
\((E):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Ta có : \({a^2} = 25,{b^2} = 9 \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 16\) \(\Rightarrow c = 4.\)
Vậy (E) có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 4; 0} \right)\) và \({F_2}\left( {4; 0} \right)\). Ta có :
\({d_1} = d({F_1},\Delta) = \dfrac{{\left| { - 4A + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\), \({d_2} = d({F_2},\Delta) = \dfrac{{\left| {4A + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\) .
Suy ra \({d_1}{d_2} = \dfrac{{\left| {{C^2} - 16{A^2}} \right|}}{{{A^2} + {B^2}}}\) (1)
Thay \({C^2} = 25{A^2} + 9{B^2}\) vào (1) ta được :
\({d_1}{d_2} = \dfrac{{\left| {25{A^2} + 9{B^2} - 16{A^2}} \right|}}{{{A^2} + {B^2}}} = \dfrac{{9({A^2} + {B^2})}}{{{A^2} + {B^2}}}\).
Vậy \({d_1}{d_2} = 9.\)