Bài 26 trang 104 SBT Hình học 10 Nâng cao

Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) với \(A=(-1; 0), B=(2; 3), C=(3 ; -6)\) và đường thẳng \(\Delta : x - 2y - 3 = 0\).

Câu a​

Xét xem đường thẳng \(\Delta \) cắt cạnh nào của tam giác.
Lời giải chi tiết:
Thay lần lượt tọa độ của \(A, B, C\) vào vế trái phương trình của \(\Delta \), ta được:
\(- 1 - 3 =  - 4 ;\) \(   2 - 2.3 - 3 =  - 7 ;\) \(   3 - 2.( - 6) - 3 = 12\).
Vậy \(A, B\) nằm về một  phía của \(\Delta \), còn \(C\) nằm về phía kia. Do đó \(\Delta \) cắt hai cạnh \(AC\) và \(BC\) của tam giác \(ABC.\)

Câu b​

Tìm điểm M trên \(\Delta \) sao cho \(|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} |\) nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Xét \(M(2y+3; y) \in \Delta \) thì \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}\) \(  = ( - 6y - 5 ;  - 3y - 3)\).
Khi đó
\(|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} |\)
\(= \sqrt {{{(6y + 5)}^2} + {{(3y + 3)}^2}}\)
\(  = \sqrt {45{y^2} + 78y + 34} \).
\(|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} |\) nhỏ nhất  \(\Leftrightarrow   45{y^2} + 78y + 34\) nhỏ nhất \(y =  -  \dfrac{{13}}{{15}}\).
Từ đó ta tìm được \(M = \left( { \dfrac{{19}}{{15}} ;  -  \dfrac{{13}}{{15}}} \right)\).
Cách 2:
Do \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} \) (\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)) nên \(|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} |\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow    |\overrightarrow {MG} |\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow   M\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) trên \(\Delta \). Ta tìm được \(M = \left( { \dfrac{{19}}{{15}} ;  -  \dfrac{{13}}{{15}}} \right)\).