Google
Câu hỏi: Khối chóp \(S. ABCD\) có đáy là hình bình hành, \(M\) là trung điểm của cạnh \(SC\). Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(AM\), song song với \(BD\) chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích cùa hai phần đó.
Lời giải chi tiết
Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\).
Gọi \(G\) là giao điểm của \(SO\) và \(AM\) thì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAC\) nên \({{SG} \over {SO}} = {2 \over 3}\).
Mặt phẳng \((P)\) song song với \(BD\) nên \((P)\) cắt mp \((SBD)\) theo giao tuyến \(B’D’\) đi qua \(G\) và \(B’D’ // BD\), trong đó \(B’, D’\) lần lượt trên \(SB\) và \(SD\).
Có \(B’D’ // BD\) nên \({{SB'} \over {SB}} = {{SD'} \over {SD}} = {{SG} \over {SO}} = {2 \over 3}\)
Mặt phẳng \((P)\) chia khối chóp \(S. ABCD\) thành hai phần: Khối chóp \(S. AB’MD’\) và khối đa diện \(ABCDB’MD’\).
\({{{V_{S. AB'D'}}} \over {{V_{S. ABD}}}} = {{SA} \over {SA}}.{{SB'} \over {SB}}.{{SD'} \over {SD}} = {2 \over 3}.{2 \over 3} = {4 \over 9} \) \(\Rightarrow {{{V_{S. AB'D'}}} \over {{V_{S. ABCD}}}} = {2 \over 9}\)
(Vì \({V_{S. ABCD}} = 2{V_{S. ABD}}\))
\({{{V_{S. MB'D'}}} \over {{V_{S. CBD}}}} = {{SM} \over {SC}}.{{SB'} \over {SB}}.{{SD'} \over {SD}} = {1 \over 2}.{2 \over 3}.{2 \over 3} = {2 \over 9}\) \(\Rightarrow {{{V_{S. MB'D'}}} \over {{V_{S. ABCD}}}} = {1 \over 9}\)
Từ đó suy ra \({{{V_{S. AB'MD'}}} \over {{V_{S. ABCD}}}} = {{{V_{S. AB'D'}} + {V_{S. MB'D'}}} \over {{V_{S. ABCD}}}} \) \(= {2 \over 9} + {1 \over 9} = {1 \over 3}\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {V_{ABCDB'MD'}} = {V_{S. ABCD}} - {V_{S. AB'MD'}}\\
= {V_{S. ABCD}} - \frac{1}{3}{V_{S. ABCD}} = \frac{2}{3}{V_{S. ABCD}}
\end{array}\)
Vậy \({{{V_{S. AB'MD'}}} \over {{V_{ABCDB'MD'}}}} = \frac{{\frac{2}{3}{V_{S. ABCD}}}}{{\frac{1}{3}{V_{S. ABCD}}}} = \frac{1}{2}\)
Cách khác:
Ta có: \(\frac{{SB'}}{{SB}} = \frac{{SD'}}{{SD}} = \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{2}{3}\) (1)
Lại có: GB’ = GD’
=> SΔAB'M=SΔAD'M (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\).
Gọi \(G\) là giao điểm của \(SO\) và \(AM\) thì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAC\) nên \({{SG} \over {SO}} = {2 \over 3}\).
Mặt phẳng \((P)\) song song với \(BD\) nên \((P)\) cắt mp \((SBD)\) theo giao tuyến \(B’D’\) đi qua \(G\) và \(B’D’ // BD\), trong đó \(B’, D’\) lần lượt trên \(SB\) và \(SD\).
Có \(B’D’ // BD\) nên \({{SB'} \over {SB}} = {{SD'} \over {SD}} = {{SG} \over {SO}} = {2 \over 3}\)
Mặt phẳng \((P)\) chia khối chóp \(S. ABCD\) thành hai phần: Khối chóp \(S. AB’MD’\) và khối đa diện \(ABCDB’MD’\).
\({{{V_{S. AB'D'}}} \over {{V_{S. ABD}}}} = {{SA} \over {SA}}.{{SB'} \over {SB}}.{{SD'} \over {SD}} = {2 \over 3}.{2 \over 3} = {4 \over 9} \) \(\Rightarrow {{{V_{S. AB'D'}}} \over {{V_{S. ABCD}}}} = {2 \over 9}\)
(Vì \({V_{S. ABCD}} = 2{V_{S. ABD}}\))
\({{{V_{S. MB'D'}}} \over {{V_{S. CBD}}}} = {{SM} \over {SC}}.{{SB'} \over {SB}}.{{SD'} \over {SD}} = {1 \over 2}.{2 \over 3}.{2 \over 3} = {2 \over 9}\) \(\Rightarrow {{{V_{S. MB'D'}}} \over {{V_{S. ABCD}}}} = {1 \over 9}\)
Từ đó suy ra \({{{V_{S. AB'MD'}}} \over {{V_{S. ABCD}}}} = {{{V_{S. AB'D'}} + {V_{S. MB'D'}}} \over {{V_{S. ABCD}}}} \) \(= {2 \over 9} + {1 \over 9} = {1 \over 3}\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {V_{ABCDB'MD'}} = {V_{S. ABCD}} - {V_{S. AB'MD'}}\\
= {V_{S. ABCD}} - \frac{1}{3}{V_{S. ABCD}} = \frac{2}{3}{V_{S. ABCD}}
\end{array}\)
Vậy \({{{V_{S. AB'MD'}}} \over {{V_{ABCDB'MD'}}}} = \frac{{\frac{2}{3}{V_{S. ABCD}}}}{{\frac{1}{3}{V_{S. ABCD}}}} = \frac{1}{2}\)
Cách khác:
Ta có: \(\frac{{SB'}}{{SB}} = \frac{{SD'}}{{SD}} = \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{2}{3}\) (1)
Lại có: GB’ = GD’
=> SΔAB'M=SΔAD'M (2)
Từ (1) và (2) suy ra: