Bài 19 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng \(ABC. A’B’C’\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(A, AC = b\). \(\widehat {ACB} = {60^0}\). Đường thẳng \(BC’\) tạo với mp \((AA’C’C)\) một góc \({30^0}\).

Câu a​

Tính độ dài đoạn thẳng \(AC'\).
Phương pháp giải:
- Góc giữa đường thẳng và mp bằng góc giữa đt và hình chiếu của nó trên mp.
- Tính AC' dựa và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.
Lời giải chi tiết:

Ta có: \(BA \bot AC\) và \(BA \bot AA'\) nên \(BA \bot \left( {ACC'A'} \right)\)
Vậy \(AC’\) là hình chiếu của \(BC’\) trên mp \((ACC’A’)\) nên góc giữa BC' và (ACC'A') bằng góc giữa BC' và AC' và bằng \(\widehat {AC'B} = {30^0}\)
Trong tam giác vuông \(BAC’\), ta có: \(\cot {30^0} = {{AC'} \over {AB}}\)
\(\Rightarrow AC' = AB.\cot{30^0} \)
Tam giác ABC vuông tại A có \(AB= AC.\tan {60^0} \) \(= b\sqrt 3 \)
Do đó \(\Rightarrow AC' = AB.\cot{30^0} \) \(= b\sqrt 3 .\sqrt 3=3b\)

Câu b​

Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Phương pháp giải:
Thể tích lăng trụ V=Bh.
Lời giải chi tiết:
Trong tam giác vuông \(ACC’\), ta có: \(CC{'^2} = AC{'^2} - A{C^2} \) \(= 9{b^2} - {b^2} = 8{b^2} \)
\(\Rightarrow CC' = 2\sqrt 2 b\)
Diện tích đáy là: \({S_{ABC}} = {1 \over 2}AB. AC \) \(={1 \over 2}b\sqrt 3. B = {{{b^2}\sqrt 3 } \over 2}\)
Thể tích khối lăng trụ \(V = S. H \) \(= {{{b^2}\sqrt 3 } \over 2}. 2\sqrt 2 b = {b^3}\sqrt 6 \)