Google
Câu hỏi: Cho khối chóp tam giác \(S. ABC\). Trên ba đường thẳng \(SA, SB, SC\) lần lượt lấy ba điểm \(A’, B’, C'\) khác với \(S\). Gọi \(V\) và \(V’\) lần lượt là thể tích của các khối chóp \(S. ABC\) và \(S. A'B'C'\). Chứng minh rằng:
\({V \over {V'}} = {{SA} \over {SA'}}.{{SB} \over {SB'}}.{{SC} \over {SC'}}\)
\({V \over {V'}} = {{SA} \over {SA'}}.{{SB} \over {SB'}}.{{SC} \over {SC'}}\)
Lời giải chi tiết
Gọi \(H\) và \(H’\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) và \(A’\) trên mp \((SBC)\). Khi đó \(3\) điểm \(S, H, H’\) thẳng hàng (vì chúng là hình chiếu của ba điểm thẳng hàng \(S, A, A’\) trên mp \((SBC)\)) và vì \(A’H’ // AH\) nên \({{AH} \over {A'H'}} = {{SA} \over {SA'}}\). Ta có:
\({{{S_{SBC}}} \over {{S_{SB'C'}}}} = {{{1 \over 2}SB. SC. Sin\widehat {BSC}} \over {{1 \over 2}SB'. SC'. Sin\widehat {B'SC'}}} = {{SB} \over {SB'}}.{{SC} \over {SC'}}\)
Suy ra \({V \over {V'}} = {{{V_{A. SBC}}} \over {{V_{A'. SB'C'}}}} = {{{1 \over 3}{S_{SBC}}. AH} \over {{1 \over 3}{S_{SB'C'}}. A'H'}} = {{SA} \over {SA'}}.{{SB} \over {SB'}}.{{SC} \over {SC'}}\)
Gọi \(H\) và \(H’\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) và \(A’\) trên mp \((SBC)\). Khi đó \(3\) điểm \(S, H, H’\) thẳng hàng (vì chúng là hình chiếu của ba điểm thẳng hàng \(S, A, A’\) trên mp \((SBC)\)) và vì \(A’H’ // AH\) nên \({{AH} \over {A'H'}} = {{SA} \over {SA'}}\). Ta có:
\({{{S_{SBC}}} \over {{S_{SB'C'}}}} = {{{1 \over 2}SB. SC. Sin\widehat {BSC}} \over {{1 \over 2}SB'. SC'. Sin\widehat {B'SC'}}} = {{SB} \over {SB'}}.{{SC} \over {SC'}}\)
Suy ra \({V \over {V'}} = {{{V_{A. SBC}}} \over {{V_{A'. SB'C'}}}} = {{{1 \over 3}{S_{SBC}}. AH} \over {{1 \over 3}{S_{SB'C'}}. A'H'}} = {{SA} \over {SA'}}.{{SB} \over {SB'}}.{{SC} \over {SC'}}\)