Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $60{}^\circ $ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng $a\sqrt{6}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng
A. $\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{42}}{3}$.
B. $\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{42}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
Đặt $AB=x,x>0$ $\Rightarrow AC=x\sqrt{2}$.
Ta có $SA\bot \left( ABCD \right)$ $\Rightarrow \left( SC,\left( ABCD \right) \right)=\left( SC,AC \right)=\widehat{SCA}$
$\Rightarrow \widehat{SCA}=60{}^\circ $ $\Rightarrow SA=AC\tan \widehat{SCA}=x\sqrt{6}$.
Kẻ $AH\bot SB, H\in SB$ có
$\left. \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot AH$.
Mà $AH\bot SB$ $\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$ $\Rightarrow d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH$ $\Rightarrow AH=a\sqrt{6}$.
Tam giác $SAB$ vuông tại $A, AH$ là đường cao nên
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{6{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{6{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$ $\Rightarrow x=a\sqrt{7}$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là
$V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{7}.\sqrt{6}.{{\left( a\sqrt{7} \right)}^{2}}=\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{42}}{3}$.
A. $\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{42}}{3}$.
B. $\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{42}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
Ta có $SA\bot \left( ABCD \right)$ $\Rightarrow \left( SC,\left( ABCD \right) \right)=\left( SC,AC \right)=\widehat{SCA}$
$\Rightarrow \widehat{SCA}=60{}^\circ $ $\Rightarrow SA=AC\tan \widehat{SCA}=x\sqrt{6}$.
Kẻ $AH\bot SB, H\in SB$ có
$\left. \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot AH$.
Mà $AH\bot SB$ $\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$ $\Rightarrow d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH$ $\Rightarrow AH=a\sqrt{6}$.
Tam giác $SAB$ vuông tại $A, AH$ là đường cao nên
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{6{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{6{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$ $\Rightarrow x=a\sqrt{7}$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là
$V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{7}.\sqrt{6}.{{\left( a\sqrt{7} \right)}^{2}}=\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{42}}{3}$.
Đáp án A.