Bài 17 trang 28 Hình học 12 Nâng cao

Phương pháp giải
- Tứ diện đều có hình chiếu của đỉnh xuống đáy chính là tâm đáy.
- Sử dụng công thức tính thể tích lăng trụ V=B. H.
Lời giải chi tiết

\(AA’B’D’\) là tứ diện đều nên đường cao \(AH\) có \(H\) là tâm của tam giác đều \(A’B’D’\) cạnh \(a\).
Mà \(ABCD)//(A'B'C'D') nên h=d((ABCD),(A'B'C'D'))=d(A,(A'B'C'D')).
Do đó:
\eqalign{
& A'H = {2 \over 3}A'O' = {2 \over 3}{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 3} \cr
& \Rightarrow A{H^2} = AA{'^2} - A'{H^2} \cr &= {a^2} - {{{a^2}} \over 3} = {{2{a^2}} \over 3} \cr
& \Rightarrow AH = a\sqrt {{2 \over 3}} = {{a\sqrt 6 } \over 3} \cr} \)
Diện tích tam giác đều \(A’B’D’\) là: \({S_{A'B'D'}}= \frac{1}{2}A'B'. A'D'\sin {60^0} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\)
Diện tích hình thoi \(A’B’C’D’\): \({S_{A'B'C'D'}} = 2{S_{A'B'D'}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}\)
Vậy thể tích khối hộp đã cho là:
\(V = B. H \) \(= {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}.{{a\sqrt 6 } \over 3} = {{{a^3}\sqrt 2 } \over 2}\)