Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy, mặt phẳng $\left( SAB \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( SBC \right)$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SBC \right)$ là $60\circ $, $SB=a\sqrt{2}$, $\widehat{BSC}=45\circ $. Thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $a$ là
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{15}$.
B. $V=2\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
C. $V=2\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
D. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{15}$.
Thể tích khối chóp $V=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABC}}$. Kẻ $AH\bot SB$ suy ra $AH\bot \left( SBC \right)$.
Do $BC\bot SA$ và $BC\bot AH$ nên $BC\bot \left( SAB \right)$, do đó tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
Kẻ $BI\bot AC$ $\Rightarrow BI\bot SC$ và kẻ $BK\bot SC$ $\Rightarrow SC\bot \left( BIK \right)$
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SBC \right)$ là $\widehat{BKI}=60{}^\circ $.
Do $\widehat{BSC}=45{}^\circ $ nên $SB=BC=a\sqrt{2}$ và $K$ là trung điểm của $SC$ nên $BK=\dfrac{SB\sqrt{2}}{2}$ $=a$.
Trong tam giác vuông $BIK$ có $BI=BK.\sin 60{}^\circ $ $=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Trong tam giác vuông $ABC$ có $\dfrac{1}{B{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{C}^{2}}}$ $\Rightarrow AB=\dfrac{BI.BC}{\sqrt{B{{C}^{2}}-B{{I}^{2}}}}$ $=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$.
${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC$ $=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{15}}{2}$ ; $SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}$ $=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$. Vậy $V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}$ $=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{15}$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{15}$.
B. $V=2\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
C. $V=2\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
D. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{15}$.
Do $BC\bot SA$ và $BC\bot AH$ nên $BC\bot \left( SAB \right)$, do đó tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
Kẻ $BI\bot AC$ $\Rightarrow BI\bot SC$ và kẻ $BK\bot SC$ $\Rightarrow SC\bot \left( BIK \right)$
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SBC \right)$ là $\widehat{BKI}=60{}^\circ $.
Do $\widehat{BSC}=45{}^\circ $ nên $SB=BC=a\sqrt{2}$ và $K$ là trung điểm của $SC$ nên $BK=\dfrac{SB\sqrt{2}}{2}$ $=a$.
Trong tam giác vuông $BIK$ có $BI=BK.\sin 60{}^\circ $ $=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Trong tam giác vuông $ABC$ có $\dfrac{1}{B{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{C}^{2}}}$ $\Rightarrow AB=\dfrac{BI.BC}{\sqrt{B{{C}^{2}}-B{{I}^{2}}}}$ $=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$.
${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC$ $=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{15}}{2}$ ; $SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}$ $=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$. Vậy $V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}$ $=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{15}$.
Đáp án D.