Bài 21 trang 197 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Câu hỏi:

Câu a​

Giải phương trình: \(\left( {{z^2} + i} \right)\left({{z^2} - 2iz - 1} \right) = 0\)
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp giải phương trình tích
\(AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Nhận xét:
\({\left( {1 - i} \right)^2} = 1 - 2i - 1 =  - 2i \) \(\Rightarrow \frac{{{{\left( {1 - i} \right)}^2}}}{2} =  - i \) \(\Rightarrow {\left( {\frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} =  - i\)
Suy ra \(–i\) có căn bậc hai \(\pm {\frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}}\)
Ta có \(\left( {{z^2} + i} \right)\left({{z^2} - 2iz - 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{  {z^2} + i = 0 \hfill \cr  {z^2} - 2iz - 1 = 0 \hfill \cr}  \right.\)
* \({z^2} + i = 0 \Leftrightarrow {z^2} =  - i \) \(\Leftrightarrow z =  \pm {\frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}}\)
* \({z^2} - 2iz - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {z^2} - 2iz + {i^2} = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {z - i} \right)^2} = 0 \) \(\Leftrightarrow z = i\)
Vậy \(S = \left\{ {i;\pm {\frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}} } \right\}\)

Câu b​

Tìm số phức B để phương trình bậc hai \({z^2} + Bz + 3i = 0\) có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí Viet
\(\left\{ \begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = - \frac{B}{A}\\
{z_1}{z_2} = \frac{C}{A}
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình
Theo giả thiết tổng bình phương hai nghiệm bằng 8 nên ta có: \({z_1}^2 + {z_2}^2 = 8\)
Theo định lí Vi-et ta có:
\(\left\{ \matrix{
{z_1} + {z_2} = - B \hfill \cr 
{z_1}.{z_2} = 3i \hfill \cr} \right.\)
\(\eqalign{
& {z_1}^2 + {z_2}^2 = 8 \cr &\Leftrightarrow {\left({{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}.{z_2} = 8 \cr 
& \Leftrightarrow {\left({ - B} \right)^2} - 2.3i = 8 \cr 
& \Leftrightarrow {B^2} = 8 + 6i \cr 
& \Leftrightarrow {B^2} = 9 + 2.3. I + {i^2} \cr 
& \Leftrightarrow {B^2} = {\left({3 + i} \right)^2} \cr 
& \Leftrightarrow B = \pm \left({3 + i} \right) \cr} \)