Google
Câu hỏi: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:\(- i\);\(4i\);\(- 4\);\(1 + 4\sqrt 3 i\).
Phương pháp giải
- Giả sử \(z=x+yi\) là căn bậc hai của w.
- Lập hệ phương trình ẩn x, y dựa vào điều kiện \(z^2=w\).
- Giải hệ tìm x, y và kết luận.
Lời giải chi tiết
* Giả sử \(z=x+yi\) là căn bậc hai của \(-i\), ta có:
\({\left( {x + yi} \right)^2} = - i \) \(\Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = - i\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 0 \left( 1 \right) \hfill \cr 2xy = - 1 \left(2 \right) \hfill \cr} \right.\)
Từ (2) suy ra \(y = - {1 \over {2x}}\) thế vào (1) ta được:
\({x^2} - {1 \over {4{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^4} = {1 \over 4} \Leftrightarrow x = \pm {1 \over {\sqrt 2 }}\)
+) Với \(x = {1 \over {\sqrt 2 }}\)ta có \(y = - {1 \over {2x}} = - {1 \over {\sqrt 2 }}\)
+) Với \(x = - {1 \over {\sqrt 2 }}\)ta có \(y = - {1 \over {2x}} = {1 \over {\sqrt 2 }}\)
Hệ có hai nghiệm là: \(\left( { - {1 \over {\sqrt 2 }},{1 \over {\sqrt 2 }}} \right),\left({{1 \over {\sqrt 2 }}, - {1 \over {\sqrt 2 }}} \right)\)
Vậy \(–i\) có hai căn bậc hai là: \({z_1} = - {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i\),\({z_2} = {1 \over {\sqrt 2 }} - {1 \over {\sqrt 2 }}i\)
* Giả sử \(z=x+yi\) là căn bậc hai của \(4i\), ta có:
\({\left( {x + yi} \right)^2} = 4i \) \(\Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = 4i \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 0 \left( 1 \right) \hfill \cr xy = 2 \left(2 \right) \hfill \cr} \right.\)
Thay \(y = {2 \over x}\) vào phương trình thứ nhất ta được:
\({x^2} - {4 \over {{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^4} = 4 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \)
+) Với \(x = \sqrt 2 \) ta có \(y = {2 \over x} = \sqrt 2 \);
+) Với \(x = - \sqrt 2 \) ta có \(y = - \sqrt 2 \)
Hệ có hai nghiệm \(\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\),\(\left( { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right)\)
Vậy \(4i\) có hai căn bậc hai là:\({z_1} = \sqrt 2 + \sqrt 2 i\); \({z_2} = - \sqrt 2 - \sqrt 2 i\)
* Ta có \(- 4 = 4{i^2} = {\left( {2i} \right)^2}\) do đó \(-4\) có hai căn bậc hai là \(\pm 2i\)
* Giả sử \(z=x+yi\) là căn bậc hai của \(1 + 4\sqrt 3 i\).
\({\left( {x + yi} \right)^2} = 1 + 4\sqrt 3 i\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 1 \hfill \cr 2xy = 4\sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = {{2\sqrt 3 } \over x} \hfill \cr {x^2} - {{12} \over {{x^2}}}=1 \hfill \cr} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{2\sqrt 3 }}{x}\\
{x^4} - {x^2} - 12 = 0
\end{array} \right. \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{2\sqrt 3 }}{x}\\
\left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 4\\
{x^2} = - 3\left({loai} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = {{2\sqrt 3 } \over x} \hfill \cr {x^2} = 4 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\) hoặc \(\left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr y = - \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)
Hệ có hai nghiệm \(\left( {2;\sqrt 3 } \right),\left({ - 2; - \sqrt 3 } \right)\)
Vậy \(1 + 4\sqrt 3 i\) có hai căn bậc hai là:\({z_1} = 2 + \sqrt 3 i\),\({z_2} = - 2 - \sqrt 3 i\)
- Giả sử \(z=x+yi\) là căn bậc hai của w.
- Lập hệ phương trình ẩn x, y dựa vào điều kiện \(z^2=w\).
- Giải hệ tìm x, y và kết luận.
Lời giải chi tiết
* Giả sử \(z=x+yi\) là căn bậc hai của \(-i\), ta có:
\({\left( {x + yi} \right)^2} = - i \) \(\Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = - i\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 0 \left( 1 \right) \hfill \cr 2xy = - 1 \left(2 \right) \hfill \cr} \right.\)
Từ (2) suy ra \(y = - {1 \over {2x}}\) thế vào (1) ta được:
\({x^2} - {1 \over {4{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^4} = {1 \over 4} \Leftrightarrow x = \pm {1 \over {\sqrt 2 }}\)
+) Với \(x = {1 \over {\sqrt 2 }}\)ta có \(y = - {1 \over {2x}} = - {1 \over {\sqrt 2 }}\)
+) Với \(x = - {1 \over {\sqrt 2 }}\)ta có \(y = - {1 \over {2x}} = {1 \over {\sqrt 2 }}\)
Hệ có hai nghiệm là: \(\left( { - {1 \over {\sqrt 2 }},{1 \over {\sqrt 2 }}} \right),\left({{1 \over {\sqrt 2 }}, - {1 \over {\sqrt 2 }}} \right)\)
Vậy \(–i\) có hai căn bậc hai là: \({z_1} = - {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i\),\({z_2} = {1 \over {\sqrt 2 }} - {1 \over {\sqrt 2 }}i\)
* Giả sử \(z=x+yi\) là căn bậc hai của \(4i\), ta có:
\({\left( {x + yi} \right)^2} = 4i \) \(\Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = 4i \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 0 \left( 1 \right) \hfill \cr xy = 2 \left(2 \right) \hfill \cr} \right.\)
Thay \(y = {2 \over x}\) vào phương trình thứ nhất ta được:
\({x^2} - {4 \over {{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^4} = 4 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \)
+) Với \(x = \sqrt 2 \) ta có \(y = {2 \over x} = \sqrt 2 \);
+) Với \(x = - \sqrt 2 \) ta có \(y = - \sqrt 2 \)
Hệ có hai nghiệm \(\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\),\(\left( { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right)\)
Vậy \(4i\) có hai căn bậc hai là:\({z_1} = \sqrt 2 + \sqrt 2 i\); \({z_2} = - \sqrt 2 - \sqrt 2 i\)
* Ta có \(- 4 = 4{i^2} = {\left( {2i} \right)^2}\) do đó \(-4\) có hai căn bậc hai là \(\pm 2i\)
* Giả sử \(z=x+yi\) là căn bậc hai của \(1 + 4\sqrt 3 i\).
\({\left( {x + yi} \right)^2} = 1 + 4\sqrt 3 i\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 1 \hfill \cr 2xy = 4\sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = {{2\sqrt 3 } \over x} \hfill \cr {x^2} - {{12} \over {{x^2}}}=1 \hfill \cr} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{2\sqrt 3 }}{x}\\
{x^4} - {x^2} - 12 = 0
\end{array} \right. \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{2\sqrt 3 }}{x}\\
\left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 4\\
{x^2} = - 3\left({loai} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = {{2\sqrt 3 } \over x} \hfill \cr {x^2} = 4 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\) hoặc \(\left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr y = - \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)
Hệ có hai nghiệm \(\left( {2;\sqrt 3 } \right),\left({ - 2; - \sqrt 3 } \right)\)
Vậy \(1 + 4\sqrt 3 i\) có hai căn bậc hai là:\({z_1} = 2 + \sqrt 3 i\),\({z_2} = - 2 - \sqrt 3 i\)