Google
Câu hỏi: Cho sáu điểm \(A, B, C, D, E, F\). Chứng minh rằng
\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} \)\(= \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} \)\(= \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \).
\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} \)\(= \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} \)\(= \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \).
Lời giải chi tiết
Theo quy tắc ba điểm, ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} \cr&= \left({\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {ED} } \right) + \left({\overrightarrow {BF} + \overrightarrow {FE} } \right) + \left({\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DF} } \right) \cr
&= \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} + \left({\overrightarrow {FE} + \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DF} } \right) \cr
&= \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} + \left({\overrightarrow {FD} + \overrightarrow {DF} } \right) \cr
& = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} \cr} \)
Tương tự, ta cũng có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} \cr&= \left({\overrightarrow {AF} + \overrightarrow {FD} } \right) + \left({\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DE} } \right) + \left({\overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EF} } \right) \cr
& = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} + \left({\overrightarrow {FD} + \overrightarrow {DE} + \overrightarrow {EF} } \right) \cr
& = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} + \left({\overrightarrow {FE} + \overrightarrow {EF} } \right) \cr
& = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \cr} \)
Vậy ta có \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD}\)\( = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \)
Cách khác:
Với điểm O nào đó ta có:
$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}} ; \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}} ; \overrightarrow{\mathrm{CF}}=\overrightarrow{\mathrm{OF}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}$
$\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OF}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}$
$=\overrightarrow{\mathrm{OE}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OF}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}+\overrightarrow{\mathrm{BF}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}(1)$
Hoàn toàn tương tự :
$\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\overrightarrow{\mathrm{OF}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}$
$=\overrightarrow{\mathrm{AF}}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{\mathrm{CE}}(2)$
Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh.
Theo quy tắc ba điểm, ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} \cr&= \left({\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {ED} } \right) + \left({\overrightarrow {BF} + \overrightarrow {FE} } \right) + \left({\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DF} } \right) \cr
&= \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} + \left({\overrightarrow {FE} + \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DF} } \right) \cr
&= \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} + \left({\overrightarrow {FD} + \overrightarrow {DF} } \right) \cr
& = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} \cr} \)
Tương tự, ta cũng có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} \cr&= \left({\overrightarrow {AF} + \overrightarrow {FD} } \right) + \left({\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DE} } \right) + \left({\overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EF} } \right) \cr
& = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} + \left({\overrightarrow {FD} + \overrightarrow {DE} + \overrightarrow {EF} } \right) \cr
& = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} + \left({\overrightarrow {FE} + \overrightarrow {EF} } \right) \cr
& = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \cr} \)
Vậy ta có \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD}\)\( = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \)
Cách khác:
Với điểm O nào đó ta có:
$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}} ; \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}} ; \overrightarrow{\mathrm{CF}}=\overrightarrow{\mathrm{OF}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}$
$\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OF}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}$
$=\overrightarrow{\mathrm{OE}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OF}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}+\overrightarrow{\mathrm{BF}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}(1)$
Hoàn toàn tương tự :
$\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\overrightarrow{\mathrm{OF}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}$
$=\overrightarrow{\mathrm{AF}}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{\mathrm{CE}}(2)$
Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh.