Bài 15 trang 17 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao

Câu hỏi: Chứng minh các mệnh đề sau đây

Câu a​

Nếu \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow c \) thì \(\overrightarrow a  = \overrightarrow c  - \overrightarrow b ,\overrightarrow b  = \overrightarrow c  - \overrightarrow a \)
Lời giải chi tiết:
Cộng hai vế cho vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow b \) ta có
\(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \left( { - \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow c  + \left({ - \overrightarrow b } \right)\) \(\Rightarrow \overrightarrow a  = \overrightarrow c  - \overrightarrow b \)
Cộng hai vế cho vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow a \) ta có
\(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \left( { - \overrightarrow a } \right) = \overrightarrow c  + \left({ - \overrightarrow a } \right)\) \(\Rightarrow \overrightarrow b  = \overrightarrow c  - \overrightarrow a \)

Câu b​

\(\overrightarrow a  - (\overrightarrow b  + \overrightarrow c) = \overrightarrow a  - \overrightarrow b  - \overrightarrow c \)
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa: Hiệu của hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là tổng của véc tơ \(\overrightarrow a \) và véc tơ đối của \(\overrightarrow b \).
- Ta cần tính hiệu của \(\overrightarrow a \) và \((\overrightarrow b + \overrightarrow c  )\) nên phải đi tìm véc tơ đối của \((\overrightarrow b + \overrightarrow c  )\).
- Thực hiện cộng véc tơ \(\overrightarrow a\) với véc tơ vừa tìm được suy ra đpcm.
Lời giải chi tiết:
Véc tơ đối của \(\overrightarrow b  + \overrightarrow c \) là \(\left( { - \overrightarrow b } \right) + \left({ - \overrightarrow c } \right)\) vì \(\overrightarrow b  + \overrightarrow c  + \left( { - \overrightarrow b } \right) + \left({ - \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow 0 \)
Do đó
\(\overrightarrow a  - \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) \) \(= \overrightarrow a  + \left( { - \overrightarrow b } \right) + \left({ - \overrightarrow c } \right) \) \(= \overrightarrow a  - \overrightarrow b  - \overrightarrow c \)

Câu c​

\(\overrightarrow a  - (\overrightarrow b  - \overrightarrow c) = \overrightarrow a  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c \)
Phương pháp giải:
- Tìm véc tơ đối của \(\overrightarrow b  - \overrightarrow c \).
- Thực hiện cộng véc tơ \(\overrightarrow a \) với véc tơ vừa tìm được suy ra đpcm.
Lời giải chi tiết:
Véc tơ đối của \(\overrightarrow b  - \overrightarrow c \) là \(\left( { - \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c \) vì
\(\overrightarrow b  - \overrightarrow c  + \left( { - \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c \) \(= \overrightarrow b  + \left( { - \overrightarrow c } \right) + \left({ - \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \overrightarrow 0 \)
Do đó
\(\overrightarrow a  - \left( {\overrightarrow b  - \overrightarrow c } \right)\) \(= \overrightarrow a  + \left( { - \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c \) \(= \overrightarrow a  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c \)