Bài 2 trang 68 SGK Đại số 10

Câu hỏi: Giải các hệ phương trình

Câu a​

\(\left\{\begin{matrix} 2x - 3y = 1 & \\ x + 2y = 3;& \end{matrix}\right.\)
Phương pháp giải:
Ta có thể giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, hoặc phương pháp cộng đại số.
Lời giải chi tiết:
Giải bằng phương pháp thế:
\(\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y = 1 \left(1 \right)\\
x + 2y = 3 \left(2 \right)
\end{array} \right.\)
Từ (2) suy ra x = 3 – 2y, thế vào phương trình (1) ta được:
2.(3 – 2y) – 3y = 1
⇔ 6 – 4y – 3y = 1
⇔ 7y = 5
⇔ y = 5/7.
Thay y = 5/7 vào x = 3 – 2y ta được :
x = 3 – 2.5/7 = 11/7.
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (11/7; 5/7).
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (\(\dfrac{11}{7}\); \(\dfrac{5}{7}\)).
Giải bằng phương pháp cộng đại số:
\(\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y = 1\\
x + 2y = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y = 1\\
 - 2x - 4y =  - 6
\end{array} \right. \\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 7y =  - 5\\
2x - 3y = 1
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{5}{7}\\
2x - 3.\frac{5}{7} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{5}{7}\\
2x = \frac{{22}}{7}
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \dfrac{5}{7}\\
x = \dfrac{{11}}{7}
\end{array} \right.\)

Câu b​

\(\left\{\begin{matrix} 3x + 4y = 5 & \\ 4x - 2y = 2;& \end{matrix}\right.\)
Lời giải chi tiết:
\(\left\{ \begin{array}{l}
3x + 4y = 5\\
4x - 2y = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x + 4y = 5\\
8x - 4y = 4
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
11x = 9\\
3x + 4y = 5
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{9}{{11}}\\
3.\frac{9}{{11}} + 4y = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{9}{{11}}\\
4y = \frac{{28}}{{11}}
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{9}{{11}}\\
y = \dfrac{7}{{11}}
\end{array} \right.\)
Đáp số: (\(\dfrac{9}{11}\); \(\dfrac{7}{11}\)).
Cách khác:
\(\left\{\begin{matrix} 3x + 4y = 5 (1)& \\ 4x - 2y = 2 (2)& \end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2x - y = 1 \Leftrightarrow y = 2x - 1\)
Thế y=2x-1 vào phương trình (1) ta được
3x + 4.(2x – 1) = 5
⇔ 3x + 8x – 4 = 5
⇔ 11x = 9
⇔ x = 9/11
Thay vào phương trình y = 2x – 1 ta được y = 2.9/11 – 1 = 7/11.
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (9/11; 7/11)

Câu c​

\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{2}{3}x +\dfrac{1}{2}y =\dfrac{2}{3}& \\ \dfrac{1}{3}x - \dfrac{3}{4}y= \dfrac{1}{2}& \end{matrix}\right.\)
Lời giải chi tiết:
Hệ đã cho \( \Leftrightarrow \) \(\left\{\begin{matrix} 4x + 3y = 4 & \\ 4x - 9y = 6& \end{matrix}\right.\)
(Nhân cả hai vế của pt trên với 6, nhân cả hai vế của pt dưới với 12)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x + 3y = 4 & \\ 12y =-2\end{matrix}\right.\)
(Lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4x + 3.\left({ - \frac{1}{6}} \right) = 4\\
y = - \frac{1}{6}
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4x = \frac{9}{2}\\
y = - \frac{1}{6}
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \) \(\left\{\begin{matrix} x = \dfrac{9}{8} & \\ y =-\dfrac{1}{6}\end{matrix}\right.\).
Cách khác:

Thay \(x = \frac{9}{8}\) vào \(y = \frac{4}{3}\left( {1 - x} \right) = \frac{4}{3}\left({1 - \frac{9}{8}} \right) =  - \frac{1}{6}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x; y} \right) = \left({\frac{9}{8}; - \frac{1}{6}} \right)\).

Câu d​

\(\left\{\begin{matrix} 0,3x - 0,2y =0,5 & \\ 0,5x + 0,4y = 1,2.& \end{matrix}\right.\)
Lời giải chi tiết:
Hệ \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 5 & \\ 5x + 4y = 12\end{matrix}\right.\)
(Nhân mỗi phương trình với \(10\))
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
6x - 4y = 10\\
5x + 4y = 12
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
11x = 22\\
5x + 4y = 12
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
5.2 + 4y = 12
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
4y = 2
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\)
Cách 2:

Cách 3:
Hệ \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 5 (1)& \\ 5x + 4y = 12 (2)\end{matrix}\right.\)
Từ (1) rút ra 2y = 3x – 5, thay vào phương trình (2) ta được:
5x + 2.(3x – 5) = 12
⇔ 5x + 6x – 10 = 12
⇔ 11x = 22
⇔ x = 2.
Thay x = 2 vào phương trình 2y = 3x – 5 ta được 2y = 1 ⇔ y = 1/2.
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 1/2)