Google
Câu hỏi: Cho hàm số
\(f(x) = \left\{ \matrix{
\sqrt x + 1 \text{ nếu }x\ge 0 \hfill \cr
2x\text{ nếu }x < 0 \hfill \cr} \right.\)
Và các dãy số \((u_n)\) với \(u_n= \dfrac{1}{n}\), \((v_n)\) với \(v_n= -\dfrac{1}{n}\).
Tính \(\lim u_n\), \(\lim v_n\), \(\lim f (u_n)\) và \(\lim f(v_n)\)
Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi \(x → 0\)?
\(f(x) = \left\{ \matrix{
\sqrt x + 1 \text{ nếu }x\ge 0 \hfill \cr
2x\text{ nếu }x < 0 \hfill \cr} \right.\)
Và các dãy số \((u_n)\) với \(u_n= \dfrac{1}{n}\), \((v_n)\) với \(v_n= -\dfrac{1}{n}\).
Tính \(\lim u_n\), \(\lim v_n\), \(\lim f (u_n)\) và \(\lim f(v_n)\)
Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi \(x → 0\)?
Phương pháp giải
- Sử dụng giới hạn cơ bản \(\lim \dfrac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k\in N^*\)
- Thay \(u_n, v_n\) vào \(f(x)\) và tính giới hạn.
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}
\lim {u_n} = \lim \dfrac{1}{n} = 0\\
\lim {v_n} = \lim \left({ - \dfrac{1}{n}} \right) = 0\\
{u_n} = \dfrac{1}{n} > 0 \Rightarrow f\left({{u_n}} \right) = \sqrt {\dfrac{1}{n}} + 1\\ \Rightarrow \lim f\left({{u_n}} \right) = \lim \left({\sqrt {\dfrac{1}{n}} + 1} \right) = 1\\
{v_n} = - \dfrac{1}{n} < 0 \Rightarrow f\left({{v_n}} \right) = - \dfrac{2}{n}\\ \Rightarrow \lim f\left({{v_n}} \right) = \lim \left({ - \dfrac{2}{n}} \right)= 0
\end{array}\)
Do \(\lim f\left( {{u_n}} \right) = 1\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = 1\).
\(\lim f\left( {{v_n}} \right) = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 0\).
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left(x \right)\) nên không tồn tại giới hạn của hàm số tại \(x = 0\).
Vậy hàm số đã cho không có giới hạn khi \(x \to 0\).
- Sử dụng giới hạn cơ bản \(\lim \dfrac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k\in N^*\)
- Thay \(u_n, v_n\) vào \(f(x)\) và tính giới hạn.
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}
\lim {u_n} = \lim \dfrac{1}{n} = 0\\
\lim {v_n} = \lim \left({ - \dfrac{1}{n}} \right) = 0\\
{u_n} = \dfrac{1}{n} > 0 \Rightarrow f\left({{u_n}} \right) = \sqrt {\dfrac{1}{n}} + 1\\ \Rightarrow \lim f\left({{u_n}} \right) = \lim \left({\sqrt {\dfrac{1}{n}} + 1} \right) = 1\\
{v_n} = - \dfrac{1}{n} < 0 \Rightarrow f\left({{v_n}} \right) = - \dfrac{2}{n}\\ \Rightarrow \lim f\left({{v_n}} \right) = \lim \left({ - \dfrac{2}{n}} \right)= 0
\end{array}\)
Do \(\lim f\left( {{u_n}} \right) = 1\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = 1\).
\(\lim f\left( {{v_n}} \right) = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 0\).
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left(x \right)\) nên không tồn tại giới hạn của hàm số tại \(x = 0\).
Vậy hàm số đã cho không có giới hạn khi \(x \to 0\).