Bài 2.60 trang 86 SBT đại số và giải tích 11

Câu hỏi: Giả sử \(A\) và \(B\) là hai biến cố \(\dfrac{{P\left( {A \cup B} \right)}}{{P\left(A \right) + P\left(B \right)}} = a\). Chứng minh rằng

Câu a​

\(\dfrac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left(A \right) + P\left(B \right)}} = 1 - a\)
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất hai biến cố \(A\) và \(B\) bất kì
cùng liên quan đến phép thử thì
\(P(A\cup B)=\)
\(P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
Lời giải chi tiết:
Theo tính chất hai biến cố \(A\) và \(B\) bất kì
cùng liên quan đến phép thử thì
\(P(A\cup B)\)
\(=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
\(\Leftrightarrow P\left( {A \cap B} \right) \)
\(= P\left( A \right) + P\left(B \right) - P\left({A \cup B} \right)\)
Nên \(\dfrac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left(A \right) + P\left(B \right)}} \)
\(= \dfrac{{P\left( A \right) + P\left(B \right) - P\left({A \cup B} \right)}}{{P\left(A \right) + P\left(B \right)}} \)
\(= 1 - a\).

Câu b​

\(\dfrac{1}{2} \le a \le 1\).
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất hai biến cố \(A\) và \(B\) bất kì
cùng liên quan đến phép thử thì
\(P(A\cup B)=\)
\(P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
Lời giải chi tiết:
Vì \(P\left( {A \cup B} \right) \)
\(= P\left( A \right) + P\left(B \right) - P\left({A \cap B} \right) \)
\(\le P\left( A \right) + P\left(B \right)\)
Nên \(a = \dfrac{{P\left( {A \cup B} \right)}}{{P\left(A \right) + P\left(B \right)}} \le 1{\rm{                                                                        }}\) \(\text{ (1)}\)
Mặt khác, \(2P\left( {A \cup B} \right) = P\left({A \cup B} \right) + P\left({A \cup B} \right) \)
\(\ge P\left( A \right) + P\left(B \right)\).
Vậy \(a = \dfrac{{P\left( {A \cup B} \right)}}{{P\left(A \right) + P\left(B \right)}} \ge \dfrac{1}{2}\).
Kết hợp với \(\text{(1)}\), ta có \(\dfrac{1}{2} \le a \le 1\).