Bài 2.57 trang 86 SBT đại số và giải tích 11

Câu hỏi: Xếp ngẫu nhiên ba người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa bé vào ngồi trên \(6\) cái ghế xếp thành hàng ngang. Tính xác suất sao cho

Câu a​

Đứa bé ngồi giữa hai người đàn bà;
Phương pháp giải:
Để tính xác suất của biến cố A.
+) Tính số phần tử của không gian mẫu \(n(\Omega)\).
+) Tính số phần tử của biến cố A: \(n(A)\).
+) Tính xác suất của biến cố A: \(P(A)=\dfrac {n(A)}{n(\Omega)} \).
Trong câu này, sử dụng hoán vị để tìm số phần tử trong không gian, sử dụng hoán vị, quy tắc nhân để tìm số phần tử của biến cố.
Lời giải chi tiết:
Không gian mẫu gồm các hoán vị của 6 người do đó \(n\left( \Omega  \right) = 6!\).
Kí hiệu A là biến cố : “ Đứa bé được xếp giữa hai người đàn bà ” ;
Để tạo nên một cách xếp mà đứa bé được xếp giữa hai người đàn bà, ta tiến hành như sau:
- Xếp đứa bé ngồi vào ghế thứ hai đến ghế thứ năm. Có 4 cách.
- Ứng với mỗi cách xếp đứa bé, có 2 cách xếp hai người đàn bà.
- Khi đã xếp hai người đàn bà và đứa bé, xếp ba người đàn ông vào các chỗ còn lại. Có \(3!\) cách.
Theo quy tắc nhân, ta có \(n\left( A \right) = 4.2.3! = 48\).
Từ đó \(P\left( A \right) = \dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega)}} = \dfrac{{48}}{{6!}} = \dfrac{1}{{15}}\) .

Câu b​

Đứa bé ngồi giữa hai người đàn ông
Phương pháp giải:
Để tính xác suất của biến cố A.
+) Tính số phần tử của không gian mẫu \(n(\Omega)\).
+) Tính số phần tử của biến cố A: \(n(A)\).
+) Tính xác suất của biến cố A: \(P(A)=\dfrac {n(A)}{n(\Omega)} \).
Trong câu này, sử dụng hoán vị để tìm số phần tử trong không gian, sử dụng hoán vị, tổ hợp, quy tắc nhân để tìm số phần tử của biến cố
Lời giải chi tiết:
Không gian mẫu gồm các hoán vị của 6 người do đó \(n\left( \Omega  \right) = 6!\).
B là biến cố: “ Đứa bé được xếp giữa hai người đàn ông ”.
Để tạo nên một cách xếp mà đứa bé ngồi giữa hai người đàn ông, ta tiến hành như sau:
- Xếp đứa bé vào các ghế thứ hai đến thứ năm. Có 4 cách.
- Chọn hai trong số ba người đàn ông. Có \(C_3^2 = 3\) cách.
- Xếp hai người đàn ông ngồi hai bên đứa bé. Có 2 cách.
- Xếp ba người còn lại vào ba chỗ còn lại. Có \(3!\) cách.
Theo quy tắc nhân, ta có
\(n\left( B \right) = 4. C_3^2.2.3! = 144\).
Vậy \(P\left( B \right) = \dfrac{{n(B)}}{{n(\Omega)}} = \dfrac{{144}}{{6!}} = \dfrac{1}{5}\).