Bài 2.1, 2.2 phần bài tập bổ sung trang 8 SBT toán 9 tập 2

Câu hỏi:

Bài 2.1​

Không vẽ đồ thị, hãy giải thích vì sao các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
\(a)\left\{ {\matrix{
{3x = 6} \cr
{x - 3y = 2} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{3x + 5y = 15} \cr
{2y = - 7} \cr} } \right.\)
\(c)\left\{ {\matrix{
{3x = 6} \cr
{2y = - 7} \cr} } \right.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
\((I) \ \left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \ (d)\cr
{a'x +b'y = c'} \ (d') \cr} } \right.\)
+ Nếu \((d)\) cắt \((d')\) thì hệ \((I)\) có một nghiệm duy nhất.
+ Nếu \((d)\) song song với \((d')\) thì hệ \((I)\) vô nghiệm.
+ Nếu \((d)\) trùng với \((d')\) thì hệ \((I)\) có vô số nghiệm.
Lời giải chi tiết:
\(a)\left\{ {\matrix{
{3x = 6} \cr
{x - 3y = 2} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr
{y = \displaystyle{1 \over 3}x - {2 \over 3}} \cr} } \right.} \right.\)
Đường thẳng \(x = 2\) song song với trục tung, đường thẳng \(y = \displaystyle{1 \over 3}x - {2 \over 3}\) cắt trục tung nên hai đường thẳng trên cắt nhau. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
\(b)\left\{ {\matrix{
{3x + 5y = 15} \cr
{2y = - 7} \cr} } \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle- {3 \over 5}x + 3} \cr
{y=\displaystyle- {7 \over 2}} \cr} } \right.\)
Đường thẳng \(y=\displaystyle- {7 \over 2}\) song song với trục hoành, đường thẳng \(y = \displaystyle - {3 \over 5}x + 3\) cắt trục hoành nên hai đường thẳng trên cắt nhau. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
\(c)\left\{ {\matrix{
{3x = 6} \cr
{2y = - 7} \cr} } \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr
{y = \displaystyle- {7 \over 2} } \cr} } \right.\)
Đường thẳng \(x =2\) song song với trục tung, đường thẳng \( y=\displaystyle- {7 \over 2} \) cắt trục tung nên hai đường thẳng trên cắt nhau. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 2.2​

Những hệ phương trình nào sau đây vô nghiệm, những hệ nào có vô số nghiệm?
\(a)\left\{ {\matrix{
{2x + 0y = 5} \cr
{4x + 0y = 7} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{2x + 0y = 5} \cr
{4x + 0y = 10} \cr} } \right.\)
\(c)\left\{ {\matrix{
{0x + 3y = - 8} \cr
{0x - 21y = 56} \cr} } \right.\)
\(d)\left\{ {\matrix{
{0x + 3y = - 8} \cr
{0x - 21y = 50} \cr} } \right.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
\((I) \ \left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \ (d)\cr
{a'x +b'y = c'} \ (d') \cr} } \right.\)
+ Nếu \((d)\) cắt \((d')\) thì hệ \((I)\) có một nghiệm duy nhất.
+ Nếu \((d)\) song song với \((d')\) thì hệ \((I)\) vô nghiệm.
+ Nếu \((d)\) trùng với \((d')\) thì hệ \((I)\) có vô số nghiệm.
Lời giải chi tiết:
\(a)\left\{ {\matrix{
{2x + 0y = 5} \cr
{4x + 0y = 7} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = \displaystyle{5 \over 2}} \cr
{x = \displaystyle{7 \over 4}} \cr} } \right.} \right.\)
Đường thẳng \(x = \displaystyle{5 \over 2}\) song song với trục tung, đường thẳng \(x = \displaystyle{7 \over 4}\) cũng song song với trục tung nên chúng song song với nhau (vì \(\dfrac{5}2\ne \dfrac{7}4)\)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
\(b)\) Ta có \(2x + 0y = 5 \Leftrightarrow x = \displaystyle {5 \over 2}\);
\(4x + 0y = 10 \Leftrightarrow x = \displaystyle {5 \over 2}\)
Do đó đường thẳng \(2x + 0y = 5\) và đường thẳng \(4x + 0y = 10\) trùng nhau.
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
\(c)\) Ta có \(0x + 3y = - 8 \Leftrightarrow y = \displaystyle -{8 \over 3}\);
\(0x - 21y = 56 \Leftrightarrow y = \displaystyle -{8 \over 3}\)
Do đó đường thẳng \(0x + 3y = - 8 \) và đường thẳng \(0x - 21y = 56\) trùng nhau. Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
\(d)\left\{ {\matrix{
{0x + 3y = - 8} \cr
{0x - 21y = 50} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = -\displaystyle{8 \over 3}} \cr
{y = -\displaystyle{50 \over 21}} \cr} } \right.} \right.\)
Đường thẳng \(y = - \displaystyle{8 \over 3}\) và đường thẳng \(y =- \displaystyle{50 \over 21}\) đều song song với trục hoành nên chúng song song với nhau. Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.