Google
Câu hỏi: Hỏi bốn đường thẳng sau có đồng quy không:
\(\eqalign{
& \left( {{d_1}} \right):3x + 2y = 13 \cr
& \left( {{d_2}} \right):2x + 3y = 7 \cr
& \left( {{d_3}} \right):x - y = 6 \cr
& \left( {{d_4}} \right):5x - 0y = 25? \cr} \)
\(\eqalign{
& \left( {{d_1}} \right):3x + 2y = 13 \cr
& \left( {{d_2}} \right):2x + 3y = 7 \cr
& \left( {{d_3}} \right):x - y = 6 \cr
& \left( {{d_4}} \right):5x - 0y = 25? \cr} \)
Phương pháp giải
Sử dụng:
- Tìm giao điểm \(M\) của hai đường thẳng bất kì:
Hoành độ giao điểm \(M\) của hai đường thẳng \(y=ax+b\) và \(y=a'x+b'\) là nghiệm của phương trình: \(ax+b=a'x+b'\).
Giải phương trình trên ta tìm được \(x\). Thay giá trị của \(x\) vào phương trình \(y=ax+b\) hoặc \(y=a'x+b'\), ta tìm được tung độ giao điểm.
- Nếu hai đường thẳng còn lại cùng đi qua điểm \(M\) thì 4 đường thẳng đã cho đồng quy tại điểm \(M\).
- Đường thẳng \(ax+by=c\) đi qua điểm \(M(x_0;y_0)\) \( \Leftrightarrow ax_0+by_0=c\).
Lời giải chi tiết
- Ta có \(\left( {{d_2}} \right):2x + 3y = 7 \Leftrightarrow y= -\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{3}\)
\(\left( {{d_3}} \right):x - y = 6 \Leftrightarrow y = x – 6\)
Hoành độ giao điểm \(M\) của hai đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) là nghiệm của phương trình:
\(-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{3}=x-6 \Leftrightarrow \displaystyle {5 \over 3}x =\dfrac{25}{3} \\ \Leftrightarrow x = 5\)
Suy ra tung độ giao điểm \(M\) là \( y = 5-6=-1\)
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) là \( M(5;-1).\)
- Nếu \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_4}} \right)\) cùng đi qua điểm \(M(5; -1)\) thì bốn đường thẳng đã cho đồng quy.
Thay \(x=5;y=-1\) vào phương trình đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) ta được:
\(3.5 + 2.\left( { - 1} \right) = 13 \Leftrightarrow 13 = 13\) (luôn đúng)
Do đó \(\left( {{d_1}} \right)\) đi qua \(M (5; -1)\).
Thay \(x=5;y=-1\) vào phương trình đường thẳng \(\left( {{d_4}} \right)\) ta được:
\(5.5-0.(-1) =25 \Leftrightarrow 25 = 25\) (luôn đúng)
Do đó \(\left( {{d_4}} \right)\) đi qua \(M (5; -1)\).)
Vậy bốn đường thẳng đã cho đồng quy tại \(M (5; -1).\)
Sử dụng:
- Tìm giao điểm \(M\) của hai đường thẳng bất kì:
Hoành độ giao điểm \(M\) của hai đường thẳng \(y=ax+b\) và \(y=a'x+b'\) là nghiệm của phương trình: \(ax+b=a'x+b'\).
Giải phương trình trên ta tìm được \(x\). Thay giá trị của \(x\) vào phương trình \(y=ax+b\) hoặc \(y=a'x+b'\), ta tìm được tung độ giao điểm.
- Nếu hai đường thẳng còn lại cùng đi qua điểm \(M\) thì 4 đường thẳng đã cho đồng quy tại điểm \(M\).
- Đường thẳng \(ax+by=c\) đi qua điểm \(M(x_0;y_0)\) \( \Leftrightarrow ax_0+by_0=c\).
Lời giải chi tiết
- Ta có \(\left( {{d_2}} \right):2x + 3y = 7 \Leftrightarrow y= -\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{3}\)
\(\left( {{d_3}} \right):x - y = 6 \Leftrightarrow y = x – 6\)
Hoành độ giao điểm \(M\) của hai đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) là nghiệm của phương trình:
\(-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{3}=x-6 \Leftrightarrow \displaystyle {5 \over 3}x =\dfrac{25}{3} \\ \Leftrightarrow x = 5\)
Suy ra tung độ giao điểm \(M\) là \( y = 5-6=-1\)
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) là \( M(5;-1).\)
- Nếu \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_4}} \right)\) cùng đi qua điểm \(M(5; -1)\) thì bốn đường thẳng đã cho đồng quy.
Thay \(x=5;y=-1\) vào phương trình đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) ta được:
\(3.5 + 2.\left( { - 1} \right) = 13 \Leftrightarrow 13 = 13\) (luôn đúng)
Do đó \(\left( {{d_1}} \right)\) đi qua \(M (5; -1)\).
Thay \(x=5;y=-1\) vào phương trình đường thẳng \(\left( {{d_4}} \right)\) ta được:
\(5.5-0.(-1) =25 \Leftrightarrow 25 = 25\) (luôn đúng)
Do đó \(\left( {{d_4}} \right)\) đi qua \(M (5; -1)\).)
Vậy bốn đường thẳng đã cho đồng quy tại \(M (5; -1).\)