Bài 13 Trang 153 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Câu hỏi:

Câu a​

Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) \ge 0\) trên \(\left[ {a; b} \right]\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \ge 0.} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tích phân Leibnitz \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left(b \right) - F\left(a \right)\)
Lời giải chi tiết:
Nếu \(f\left( x \right) = 0\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {0dx}  = \left. C \right|_a^b = 0\)
Nếu \(f\left( x \right) > 0\), gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].
Ta có: F’(x) = f(x) > 0 trên đoạn [a; b] nên F(x) đồng trên đoạn [a; b]
Mà a < b \(\Rightarrow \) F(a) < F (b).
\(\Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left(b \right) - F\left(a \right) > 0\).
Vậy \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \ge 0\).

Câu b​

Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) \ge g\left(x \right)\) trên \(\left[ {a; b} \right]\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \ge \int\limits_a^b {g\left(x \right)dx} .\)
Lời giải chi tiết:
Trên đoạn [a, b] ta có; f(x) > g(x) nên f(x) – g(x) \(\ge \) 0.
Theo câu a, ta có: f(x) – g(x) \(\ge \)  0, nên
\(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left(x \right)} \right]dx}  \ge 0\) \(\Leftrightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_a^b {g\left(x \right)dx}  \ge 0\) \(\Leftrightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \ge \int\limits_a^b {g\left(x \right)dx} \).
Vậy \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \ge \int\limits_a^b {g\left(x \right)dx} \).