Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH.\) Gọi \(D, E\) theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ \(H\) đến \(AB, AC.\)
a. Chứng minh rằng \(AH = DE.\)
b. Gọi \(I\) là trung điểm của \(HB, K\) là trung điểm của \(HC.\) Chứng minh rằng \(DI // EK\)
a. Chứng minh rằng \(AH = DE.\)
b. Gọi \(I\) là trung điểm của \(HB, K\) là trung điểm của \(HC.\) Chứng minh rằng \(DI // EK\)
Phương pháp giải
Hình tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật
Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau.
Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy
Lời giải chi tiết
a. Xét tứ giác \(ADHE:\)
\(\widehat A = {90^0}\) (gt)
\(\widehat {ADH} = {90^0}\) (vì \(HD ⊥ AB\))
\(\widehat {AEH} = {90^0}\) (vì \(HE ⊥ AC\))
Suy ra tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)
\(⇒ AH = DE\) (tính chất hình chữ nhật)
b. \(∆ BHD\) vuông tại \(D\) có \(DI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BH\)
\(⇒ DI = IB\) \(= \dfrac{1}{2} BH\) (tính chất tam giác vuông)
\(⇒ ∆ IDB\) cân tại \(I\) \( \Rightarrow \widehat {DIB} = {{{180}^0} - 2\widehat B} \) (1)
\(∆ HEC\) vuông tại \(E\) có \(EK\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(HC\)
\(⇒ EK = KH = \dfrac{1}{2}HC\) (tính chất tam giác vuông)
\(⇒ ∆ KHE\) cân tại \(K\) \( \Rightarrow \widehat {EKH} = {{{180}^0} - 2\widehat {KHE}}\) (2)
Tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật
\(⇒ HE // AD\) hay \(HE // AB\)
\( ⇒\) \(\widehat B = \widehat {KHE}\) (hai góc đồng vị) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {DIB} = \widehat {EKH}\)
\(⇒ DI // EK\) (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).
Hình tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật
Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau.
Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy
Lời giải chi tiết
a. Xét tứ giác \(ADHE:\)
\(\widehat A = {90^0}\) (gt)
\(\widehat {ADH} = {90^0}\) (vì \(HD ⊥ AB\))
\(\widehat {AEH} = {90^0}\) (vì \(HE ⊥ AC\))
Suy ra tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)
\(⇒ AH = DE\) (tính chất hình chữ nhật)
b. \(∆ BHD\) vuông tại \(D\) có \(DI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BH\)
\(⇒ DI = IB\) \(= \dfrac{1}{2} BH\) (tính chất tam giác vuông)
\(⇒ ∆ IDB\) cân tại \(I\) \( \Rightarrow \widehat {DIB} = {{{180}^0} - 2\widehat B} \) (1)
\(∆ HEC\) vuông tại \(E\) có \(EK\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(HC\)
\(⇒ EK = KH = \dfrac{1}{2}HC\) (tính chất tam giác vuông)
\(⇒ ∆ KHE\) cân tại \(K\) \( \Rightarrow \widehat {EKH} = {{{180}^0} - 2\widehat {KHE}}\) (2)
Tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật
\(⇒ HE // AD\) hay \(HE // AB\)
\( ⇒\) \(\widehat B = \widehat {KHE}\) (hai góc đồng vị) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {DIB} = \widehat {EKH}\)
\(⇒ DI // EK\) (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).