Bài 106 trang 23 SBT toán 9 tập 1

Câu hỏi: Cho biểu thức
\(A = \dfrac{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) - 4\sqrt {ab} }}{{\sqrt a - \sqrt b }} \)\(- \dfrac{{a\sqrt b + b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}\)

Câu a​

Tìm điều kiện để A có nghĩa.
Phương pháp giải:
Để \({\sqrt A }\) có nghĩa thì \(A \ge 0\)
Lời giải chi tiết:
Biểu thức A có nghĩa khi và chỉ khi :
\(\left\{ \matrix{
a \ge 0 \hfill \cr
b \ge 0 \hfill \cr
\sqrt a - \sqrt b \ne 0 \hfill \cr
\sqrt {ab} \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a \ge 0 \hfill \cr
b \ge 0 \hfill \cr
a \ne b \hfill \cr
ab \ne 0 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a > 0 \hfill \cr
b > 0 \hfill \cr
a \ne b \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(a > 0,b > 0\) và \(a \ne b\) thì \(A\) có nghĩa.

Câu b​

Khi A có nghĩa, chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào \(a\).
Phương pháp giải:
Áp dụng hằng đẳng thức:
\({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
\({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có :
\( \displaystyle A = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} - 4\sqrt {ab} } \over {\sqrt a - \sqrt b }}\)\( \displaystyle - {{a\sqrt b + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }} \)
\( \displaystyle = {{\sqrt {{a^2}} + 2\sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} - 4\sqrt {ab} } \over {\sqrt a - \sqrt b }}\)\(\displaystyle - {{\sqrt {{a^2}b} + \sqrt {a{b^2}} } \over {\sqrt {ab} }} \)
\( \displaystyle = {{\sqrt {{a^2}} - 2\sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} } \over {\sqrt a - \sqrt b }} \)\(\displaystyle- {{\sqrt {ab} (\sqrt a + \sqrt b )} \over {\sqrt {ab} }} \)
\( \displaystyle = {{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}} \over {\sqrt a - \sqrt b }} \)\(\displaystyle - \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \)
\( \displaystyle = \sqrt a - \sqrt b - \sqrt a - \sqrt b = - 2\sqrt b \)
Vậy giá trị của \(A\) không phụ thuộc vào \(a.\)