Bài 101 trang 22 SBT toán 9 tập 1

Câu hỏi:

Câu a​

Chứng minh:
\(x - 4\sqrt {x - 4} = {\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)^2};\)
Phương pháp giải:
Phân tích biểu thức thành hằng đẳng thức:
\({a^2} \pm 2ab + {b^2} = {(a \pm b)^2}\)
Áp dụng \(A=\sqrt {{A^2}} \) với \(A\ge 0\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(VT=x - 4\sqrt {x - 4} \)
\(= \left( {x - 4} \right) - 2.2\sqrt {x - 4} + 4\)
\( = {\left( {\sqrt {x - 4} } \right)^2} - 2.2\sqrt {x - 4} + {2^2} \)
\(= {\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)^2}=VP\)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
(Chú ý: VT: Vế trái, VP: Vế phải)

Câu b​

Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:
\(A=\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } .\)
Phương pháp giải:
Phân tích biểu thức thành hằng đẳng thức:
\({a^2} \pm 2ab + {b^2} = {(a \pm b)^2}\)
Áp dụng \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)
Với \(A \ge 0\) suy ra \(\left| A \right| = A\)
Với \(A < 0\) suy ra \(\left| A \right| =- A\)
Lời giải chi tiết:
\(A\) xác định khi: \(x - 4 \ge 0\) và \(x - 4\sqrt {x - 4} \ge 0\)
Ta có \(x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 4\), khi đó:
\(\eqalign{
& x - 4\sqrt {x - 4} = \left( {x - 4} \right) - 2.2\sqrt {x - 4} + 4 \cr
& = {\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)^2} \ge 0\text{( luôn đúng )} \cr} \)
Vậy với \(x \ge 4\) thì \(A\) xác định.
Ta có:
\(\eqalign{
& x + 4\sqrt {x - 4} = \left( {x - 4} \right) +2.2\sqrt {x - 4} + 4 \cr
& = {\left( {\sqrt {x - 4} + 2} \right)^2} \cr} \)
Suy ra:
\(A = \sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } \)\(+ \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } \)
\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4} + 2} \right)}^2}} \)\(+ \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)}^2}} \)
\( = \left| {\sqrt {x - 4} + 2} \right| \)\(+ \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|\)
\( = \sqrt {x - 4} + 2 + \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|\)
+) Nếu
\(\eqalign{
& \sqrt {x - 4} - 2 \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 4} \ge 2 \cr
& \Leftrightarrow x - 4 \ge 4 \Leftrightarrow x \ge 8 \cr} \)
thì: \(\left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right| = \sqrt {x - 4} - 2\)
Ta có: \(A = \sqrt {x - 4} + 2 + \sqrt {x - 4} - 2 \)\(= 2\sqrt {x - 4} \)
+) Nếu:
\(\eqalign{
& \sqrt {x - 4} - 2 < 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 4} < 2 \cr
& \Leftrightarrow x - 4 < 4 \Leftrightarrow x < 8 \cr} \)
Suy ra \(4\le x<8\)
Do đó, \(\left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right| \)\(= 2 - \sqrt {x - 4} \)
Ta có: \(A = \sqrt {x - 4} + 2 + 2 - \sqrt {x - 4} = 4\)
Vậy với \(x\ge 8\) thì \(A = 2\sqrt {x - 4} \)
Với \(4\le x<8\) thì \(A=4.\)