Bài 108 trang 23 SBT toán 9 tập 1

Câu hỏi: Cho biểu thức:
\(C = (\dfrac{{\sqrt x }}{{3 + \sqrt x }} + \dfrac{{x + 9}}{{9 - x}})\)\(.(\dfrac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 3\sqrt x }} - \dfrac{1}{{\sqrt x }})\) với \(x > 0\) và \(x \ne 9\)

Câu a​

Rút gọn \(C\)
Phương pháp giải:
Các bước rút gọn biểu thức:
Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác không… nếu bài toán chưa cho)
Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức)
+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung.
+ Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác không.
Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận.
Sử dụng hằng đẳng thức:
\({a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b)\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\( \displaystyle C = \left( {{{\sqrt x } \over {3 + \sqrt x }} + {{x + 9} \over {9 - x}}} \right)\)\( \displaystyle :\left( {{{3\sqrt x + 1} \over {x - 3\sqrt x }} - {1 \over {\sqrt x }}} \right) \)
\( \displaystyle = \left[ {{{\sqrt x } \over {3 + \sqrt x }} + {{x + 9} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}} \right]\)\( \displaystyle :\left[ {{{3\sqrt x + 1} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}} - {1 \over {\sqrt x }}} \right] \)
\( \displaystyle = {{\sqrt x \left( {3 - \sqrt x } \right) + x + 9} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}\)\( \displaystyle :{{3\sqrt x + 1 - \left( {\sqrt x - 3} \right)} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}} \)
\( \displaystyle = {{3\sqrt x - x + x + 9} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}\)\( \displaystyle :{{2\sqrt x + 4} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}} \)
\( \displaystyle = {{3\sqrt x + 9} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}\)\( \displaystyle .{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)} \over {2\sqrt x + 4}} \)
\( \displaystyle = {{3\left( {\sqrt x + 3} \right)} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}.{{ - \sqrt x \left( {3 - \sqrt x } \right)} \over {2\sqrt x + 4}} \)
\( \displaystyle = \dfrac{{ - 3\sqrt x }}{{2\sqrt x + 4}}\) (với \( \displaystyle x > 0\) và \( \displaystyle x \ne 9)\)

Câu b​

Tìm \(x\) sao cho \(C < -1\).
Phương pháp giải:
Cho \(C < -1\), sử dụng kết quả rút gọn ở câu a) để tìm \(x\).
Lời giải chi tiết:
Với \( \displaystyle C < - 1\) ta có:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\dfrac{{ - 3\sqrt x }}{{2\sqrt x + 4}} < - 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3\sqrt x }}{{2\sqrt x + 4}} + 1 < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{ - 3\sqrt x + 2\sqrt x + 4}}{{2\sqrt x + 4}} < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{4 - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 4}} < 0
\end{array}\)
Vì \( \displaystyle x > 0\) nên \( \displaystyle \sqrt x > 0\)
Khi đó: \( \displaystyle 2\sqrt x + 4 > 0\)
Suy ra: \( \displaystyle 4 - \sqrt x < 0 \Leftrightarrow \sqrt x > 4 \Leftrightarrow x > 16\)
Vậy với \( \displaystyle x > 16\) thì \( \displaystyle C < -1\).