Bài 1.1 phần bài tập bổ sung trang 23 SBT toán 9 tập 1

Phương pháp giải
Trục căn thức ở mẫu:
Với \(\sqrt A \ne \sqrt B \)
\(\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{\sqrt A - \sqrt B }} = \dfrac{{\sqrt A + \sqrt B }}{{A - B}}
\end{array}\)
So sánh: Với \(A, B\ge 0\) thì \(A^2<B^2 \Rightarrow A<B\)
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} \\= \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}}\\
= \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{3 - 2}} = \sqrt 3 + \sqrt 2
\end{array}\)
So sánh \(\sqrt 3 + \sqrt 2 \) và \(\sqrt 5 + 1\)
Xét \(A = \sqrt 3 + \sqrt 2 >0\)
\({A^2} = {(\sqrt 3 + \sqrt 2 )^2} \)\(= 3+ 2\sqrt 3.\sqrt 2+2=5 + 2\sqrt 6 \)
\({A^2} - 5 = 2\sqrt 6 \)
Xét \(B = \sqrt 5 + 1>0\)
\({B^2} = {(\sqrt 5 + 1)^2} \)\(=5+ 2\sqrt 5.1+1= 6 + 2\sqrt 5 \)
\({B^2} - 5 = 1 + 2\sqrt 5 \)
Ta so sánh: \(2\sqrt 6 \) và \(1 + 2\sqrt 5 \)
\({(2\sqrt 6 )^2} = 24=21+3\)
\({(1 + 2\sqrt 5 )^2} \)\(=1+ 2.1.2\sqrt 5 +20=21 + 4\sqrt 5 \)
Do \(3<4\) và \( \sqrt 5>1\) nên \(3 < 4\sqrt 5 \Rightarrow 24 < 21 + 4\sqrt 5 \)
\(\Rightarrow 2\sqrt 6 < 1 + 2\sqrt 5 \)
Vậy
\(\begin{array}{l}
{A^2} - 5 < {B^2} - 5\\
\Leftrightarrow {A^2} < {B^2}\\ \Rightarrow A<B
\end{array}\)
Hay \(\dfrac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} < \sqrt 5 + 1\).