Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) đồng biến khi \(a > 0\) và nghịch biến khi \(a < 0.\)
Phương pháp giải
- Tìm tập xác định (TXĐ) D của hàm số
- Giả sử \({x_1} < {x_2}\) với (\({x_1};{x_2} \in D\)). Xét hiệu \(f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right).\)
+ Nếu \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) < 0\) hay \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\) thì hàm số đồng biến trên D.
+ Nếu \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0\) hay \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\) thì hàm số nghịch biến trên D.
Lời giải chi tiết
Xét hàm số bậc nhất \(y = ax +b\) ( \(a \ne 0\) ) trên tập số thực \(R.\)
Với hai số \(x_1\) và \(x_2\) thuộc \(R\) và \({x_1} < {x_2}\) , ta có :
\({y_1} = a{x_1} + b\)
\({y_2} = a{x_2} + b\)
\({y_2} - {y_1} = \left( {a{x_2} + b} \right) - \left( {a{x_1} + b} \right)\)\( = a\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\) (1)
* Trường hợp \(a > 0:\)
Ta có: \({x_1} < {x_2}\) suy ra : \({x_2} - {x_1} > 0\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \({y_2} - {y_1} = {\rm{a}}\left( {{x_2} - {x_1}} \right) > 0 \Rightarrow {y_2} >{y_1}\)
Vậy hàm số đồng biến khi \(a > 0.\)
* Trường hợp \(a < 0\):
Ta có: \({x_1} < {x_2}\) suy ra : \({x_2} - {x_1} > 0\) (3)
Từ (1) và (3) suy ra:
\({y_2} - {{\rm{y}}_1} = {\rm{a}}\left( {{x_2} - {x_1}} \right) < 0 \Rightarrow {y_2} < {y_1}\)
Vậy hàm số nghịch biến khi \(a < 0.\)
- Tìm tập xác định (TXĐ) D của hàm số
- Giả sử \({x_1} < {x_2}\) với (\({x_1};{x_2} \in D\)). Xét hiệu \(f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right).\)
+ Nếu \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) < 0\) hay \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\) thì hàm số đồng biến trên D.
+ Nếu \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0\) hay \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\) thì hàm số nghịch biến trên D.
Lời giải chi tiết
Xét hàm số bậc nhất \(y = ax +b\) ( \(a \ne 0\) ) trên tập số thực \(R.\)
Với hai số \(x_1\) và \(x_2\) thuộc \(R\) và \({x_1} < {x_2}\) , ta có :
\({y_1} = a{x_1} + b\)
\({y_2} = a{x_2} + b\)
\({y_2} - {y_1} = \left( {a{x_2} + b} \right) - \left( {a{x_1} + b} \right)\)\( = a\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\) (1)
* Trường hợp \(a > 0:\)
Ta có: \({x_1} < {x_2}\) suy ra : \({x_2} - {x_1} > 0\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \({y_2} - {y_1} = {\rm{a}}\left( {{x_2} - {x_1}} \right) > 0 \Rightarrow {y_2} >{y_1}\)
Vậy hàm số đồng biến khi \(a > 0.\)
* Trường hợp \(a < 0\):
Ta có: \({x_1} < {x_2}\) suy ra : \({x_2} - {x_1} > 0\) (3)
Từ (1) và (3) suy ra:
\({y_2} - {{\rm{y}}_1} = {\rm{a}}\left( {{x_2} - {x_1}} \right) < 0 \Rightarrow {y_2} < {y_1}\)
Vậy hàm số nghịch biến khi \(a < 0.\)