Google
Câu hỏi: Hàm số \(y = {x^4} + \left( {{m^2} - 4} \right){x^2} + 5\) có ba cực trị khi:
A. \(- 2 < m < 2\)
B. \(m = 2\)
C. \(m < - 2\)
D. \(m > 2\)
A. \(- 2 < m < 2\)
B. \(m = 2\)
C. \(m < - 2\)
D. \(m > 2\)
Phương pháp giải
Hàm đa thức bậc bốn có ba điểm cực trị \(\Leftrightarrow \) phương trình \(y' = 0\) có ba nghiệm phân biệt.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(y' = 4{x^3} + 2\left( {{m^2} - 4} \right)x\);
\(y' = 0 \Leftrightarrow 2x\left[ {2{x^2} + \left( {{m^2} - 4} \right)} \right] = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2{x^2} + {m^2} - 4 = 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \dfrac{{4 - {m^2}}}{2} (*)\end{array} \right.\)
Hàm số đã cho có \(3\) điểm cực trị \(\Leftrightarrow \) phương trình \(y' = 0\) có ba nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow \) \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(0\) \(\Leftrightarrow \dfrac{{4 - {m^2}}}{2} > 0\)\( \Leftrightarrow 4 - {m^2} > 0\)\(\Leftrightarrow - 2 < m < 2\).
Hàm đa thức bậc bốn có ba điểm cực trị \(\Leftrightarrow \) phương trình \(y' = 0\) có ba nghiệm phân biệt.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(y' = 4{x^3} + 2\left( {{m^2} - 4} \right)x\);
\(y' = 0 \Leftrightarrow 2x\left[ {2{x^2} + \left( {{m^2} - 4} \right)} \right] = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2{x^2} + {m^2} - 4 = 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \dfrac{{4 - {m^2}}}{2} (*)\end{array} \right.\)
Hàm số đã cho có \(3\) điểm cực trị \(\Leftrightarrow \) phương trình \(y' = 0\) có ba nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow \) \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(0\) \(\Leftrightarrow \dfrac{{4 - {m^2}}}{2} > 0\)\( \Leftrightarrow 4 - {m^2} > 0\)\(\Leftrightarrow - 2 < m < 2\).
Đáp án A.