Google
Câu hỏi: Hàm số \(y = {x^3} + \left( {m + 3} \right){x^2} + mx - 2\) đạt cực tiểu tại \(x = 1\) khi:
A. \(m = 1\)
B. \(m = 2\)
C. \(m = - 3\)
D. \(m = 4\)
A. \(m = 1\)
B. \(m = 2\)
C. \(m = - 3\)
D. \(m = 4\)
Phương pháp giải
Hàm đa thức bậc ba \(y = f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = {x_0}\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left({{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(y' = 3{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + m\); \(y'' = 6x + 2\left( {m + 3} \right)\)
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \(x = 1\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( 1 \right) = 0\\y''\left(1 \right) > 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + 2\left( {m + 3} \right) + m = 0\\6 + 2\left({m + 3} \right) > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3m + 9 = 0\\
2m + 12 > 0
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 3\\m > - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 3\)
Cách khác:
y' = 3x2 + 2(m + 3)x + m
Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 thì
y'(1) = 3 + 2(m + 3) + m = 3m + 9 = 0 ⇔ m = -3
Với m = -3, y' = 3x2 - 3 ⇒ y''(x) = 6x.
Vì y''(1) = 6 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=1. (thỏa mãn)
Vậy m = -3.
Hàm đa thức bậc ba \(y = f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = {x_0}\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left({{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(y' = 3{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + m\); \(y'' = 6x + 2\left( {m + 3} \right)\)
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \(x = 1\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( 1 \right) = 0\\y''\left(1 \right) > 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + 2\left( {m + 3} \right) + m = 0\\6 + 2\left({m + 3} \right) > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3m + 9 = 0\\
2m + 12 > 0
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 3\\m > - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 3\)
Cách khác:
y' = 3x2 + 2(m + 3)x + m
Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 thì
y'(1) = 3 + 2(m + 3) + m = 3m + 9 = 0 ⇔ m = -3
Với m = -3, y' = 3x2 - 3 ⇒ y''(x) = 6x.
Vì y''(1) = 6 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=1. (thỏa mãn)
Vậy m = -3.
Đáp án C.