Google
Câu hỏi: Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 3\left({m + 1} \right)x - 5\) có cực trị.
A. \(m > 0\)
B. \(- 1 < m < 1\)
C. \(m \le 0\)
D. \(\forall m \in \mathbb{R}\)
A. \(m > 0\)
B. \(- 1 < m < 1\)
C. \(m \le 0\)
D. \(\forall m \in \mathbb{R}\)
Phương pháp giải
Hàm số bậc ba có cực trị nếu và chỉ nếu phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6\left( {m - 1} \right)x - 3\left({m + 1} \right)\).
Hàm số đã cho có cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow \Delta ' = 9{\left( {m - 1} \right)^2} + 9\left({m + 1} \right) > 0\) \(\Leftrightarrow 9\left( {{m^2} - 2m + 1 + m + 1} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow 9\left( {{m^2} - m + 2} \right) > 0\) \(\Leftrightarrow {m^2} - m + 2 > 0\)
Tam thức m2 - m + 2 luôn dương với mọi m ∈ R vì \({\Delta _m}\) = 1 - 8 < 0 và a = 1 > 0
Do đó phương y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.
Vậy với \(\forall m \in \mathbb{R}\), hàm số đã cho luôn có cực trị.
Hàm số bậc ba có cực trị nếu và chỉ nếu phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6\left( {m - 1} \right)x - 3\left({m + 1} \right)\).
Hàm số đã cho có cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow \Delta ' = 9{\left( {m - 1} \right)^2} + 9\left({m + 1} \right) > 0\) \(\Leftrightarrow 9\left( {{m^2} - 2m + 1 + m + 1} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow 9\left( {{m^2} - m + 2} \right) > 0\) \(\Leftrightarrow {m^2} - m + 2 > 0\)
Tam thức m2 - m + 2 luôn dương với mọi m ∈ R vì \({\Delta _m}\) = 1 - 8 < 0 và a = 1 > 0
Do đó phương y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.
Vậy với \(\forall m \in \mathbb{R}\), hàm số đã cho luôn có cực trị.
Đáp án D.