Bài 1.67 trang 38 SBT giải tích 12

Câu hỏi: Cho hàm số: .
a) Xét tính đơn điệu của hàm số.
b) Chứng minh rằng với mọi , tiệm cận ngang của đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua điểm .
c) Biện luận theo số giao điểm của và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
d) Vẽ đồ thị của hàm số:

Câu a​

Xét tính đơn điệu của hàm số.
Phương pháp giải:
- Tính .
- Biện luận theo dấu của , từ đó suy ra tính đơn điệu của hàm số.
Lời giải chi tiết:
TXĐ:

+) Nếu suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng
+) Nếu suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng
+) Nếu thì khi là hàm hằng.

Câu b​

Chứng minh rằng với mọi , tiệm cận ngang của đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua điểm .
Phương pháp giải:
- Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Sử dụng định nghĩa: hoặc thì là TCN của đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Nên với mọi , đường thẳng là tiệm cận ngang và luôn đi qua .

Câu c​

Biện luận theo số giao điểm của và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm.
- Biện luận số giao điểm dựa vào số nghiệm của phương trình vừa xét.
Lời giải chi tiết:
Số giao điểm của và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là số nghiệm của phương trình
Ta có: với
với
Do nên không nghiệm đúng phương trình.
Hay
Như vậy, để không là nghiệm của phương trình (*), ta phải có .
Ta có: .
Từ đó suy ra với đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt.

Câu d​

Vẽ đồ thị của hàm số:
Phương pháp giải:
- Vẽ đồ thị hàm số .
- Vẽ đồ thị hàm số bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục .
+ Lấy đối xứng phần dưới qua trục và xóa phần dưới cũ đi.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Trước hết, ta vẽ đồ thị của hàm số .
TXĐ: .
Vì với mọi nên hàm số nghịch biến trên các khoảng .
Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng , tiệm cận ngang .
Đồ thị đi qua các điểm .

Để vẽ đồ thị của hàm số , ta giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.