Bài 1.63 trang 37 SBT giải tích 12

Câu hỏi: Cho hàm số:    (1)

Câu a​

Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số (1) đi qua với mọi giá trị của .
Phương pháp giải:
- Biến đổi hàm số về phương trình ẩn với tham số là .
- Cho các hệ số của và hệ số tự do bằng rồi tìm và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có:


Đồ thị của hàm số (1) luôn luôn đi qua điểm với mọi khi là nghiệm của hệ phương trình: 
Vậy đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua hai điểm và

Câu b​

Chứng minh rằng với mọi giá trị của , đồ thị của hàm số (1) luôn luôn có cực trị.
Phương pháp giải:
Hàm số đa thức bậc ba luôn có cực trị nếu luôn có hai nghiệm phân biệt với .
Lời giải chi tiết:
Ta có: ;
Do dó phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt (và đổi dấu khi qua hai nghiệm đó).
Từ đó suy ra đồ thị của (1) luôn luôn có cực trị.

Câu c​

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của (1) khi
Phương pháp giải:
Khảo sát tóm tắt:
+ Thay vào hàm số đã cho.
+ Tính .
+ Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
Với ta được hàm số .
TXĐ:
Chiều biến thiên:

Có ,
Hàm số đồng biến trên các khoảng và
Hàm số nghịch biến trên khoảng
Hàm số đạt cực đại tại , đạt cực tiểu tại
Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Câu d​

Xác định để (C) cắt đường thẳng tại ba điểm phân biệt.
Phương pháp giải:
- Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm đặc biệt.
- Từ đó suy ra điều kiện của .
Lời giải chi tiết:
Với ta có:.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: (2)
Đường thẳng cắt (C) tại ba điểm phân biệt nếu phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt.
Có

có ba nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt khác

.
Vậy với và thì cắt đường thẳng tại ba điểm phân biệt.