Google
Câu hỏi: Nghiệm của phương trình \(3\tan 2x+6\cot x=-\tan x\) là
A. \(k\dfrac{\pi}{4} , k\in\mathbb{Z}\)
B. \(\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
C. \(\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
D. \(k\dfrac{\pi}{2} , k\in\mathbb{Z}\).
A. \(k\dfrac{\pi}{4} , k\in\mathbb{Z}\)
B. \(\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
C. \(\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
D. \(k\dfrac{\pi}{2} , k\in\mathbb{Z}\).
Phương pháp giải
-Tìm ĐKXĐ.
-Sử dụng công thức khai triển tan của một tổng \(\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\) trong bài là \(a=b=x\) nên ta có \(\tan 2x=\dfrac{2\tan x}{1-{tan}^2 x}\).
-Sử dụng \(\cot x=\dfrac{1}{\tan x}\)
-Phương trình: \(\tan x=a\) có \(\alpha\) thỏa mãn \(\tan \alpha =a\)
hay viết là \(\alpha=\arctan a\)
Khi đó phương trình có nghiệm là \(x=\alpha+k\pi, k\in\mathbb{Z}\).
Lời giải chi tiết
ĐKXĐ: \(\cos 2x\ne 0\), \(\sin x\ne 0\) và \(\cos x\ne 0\)
\(\Leftrightarrow \cos 2x\ne 0\) và \(\sin 2x\ne 0\)
\(\Leftrightarrow \sin 4x\ne 0\)
\(\Leftrightarrow 4x\ne k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x\ne k\dfrac{\pi}{4} , k\in\mathbb{Z}\)
Ta có: \(3\tan 2x+6\cot x=-\tan x\)
\(\Leftrightarrow 3\dfrac{2\tan x}{1-{tan}^2 x}+\dfrac{6}{\tan x}+\tan x=0\)
\(\Leftrightarrow 6{\tan}^2 x+6-6{\tan}^2 x+{\tan}^2 x(1-{\tan}^2 x)=0\)
\(\Leftrightarrow -{\tan}^4 x+{\tan}^2 x+6=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\tan}^2 x = -2<0\text{(loại)}\\{\tan}^2 x= 3\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \tan x = \pm\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow x = \pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi , k \in \mathbb{Z}\)
Cách trắc nghiệm:
Điều kiện của phương trình:
x ≠ kπ, x ≠ π/2 + kπ, x ≠ π/4 + kπ/2 (k ∈ Z)
Xét các phương án.
- Vì π/4 và π/2 không thỏa mãn điều kiện của phương trình nên hai phương án A và D bị loại.
- Với x = π/6 thì vế phải của phương trình đã cho âm, còn vế trái dương, nên phương án C bị loại.
-Tìm ĐKXĐ.
-Sử dụng công thức khai triển tan của một tổng \(\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\) trong bài là \(a=b=x\) nên ta có \(\tan 2x=\dfrac{2\tan x}{1-{tan}^2 x}\).
-Sử dụng \(\cot x=\dfrac{1}{\tan x}\)
-Phương trình: \(\tan x=a\) có \(\alpha\) thỏa mãn \(\tan \alpha =a\)
hay viết là \(\alpha=\arctan a\)
Khi đó phương trình có nghiệm là \(x=\alpha+k\pi, k\in\mathbb{Z}\).
Lời giải chi tiết
ĐKXĐ: \(\cos 2x\ne 0\), \(\sin x\ne 0\) và \(\cos x\ne 0\)
\(\Leftrightarrow \cos 2x\ne 0\) và \(\sin 2x\ne 0\)
\(\Leftrightarrow \sin 4x\ne 0\)
\(\Leftrightarrow 4x\ne k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x\ne k\dfrac{\pi}{4} , k\in\mathbb{Z}\)
Ta có: \(3\tan 2x+6\cot x=-\tan x\)
\(\Leftrightarrow 3\dfrac{2\tan x}{1-{tan}^2 x}+\dfrac{6}{\tan x}+\tan x=0\)
\(\Leftrightarrow 6{\tan}^2 x+6-6{\tan}^2 x+{\tan}^2 x(1-{\tan}^2 x)=0\)
\(\Leftrightarrow -{\tan}^4 x+{\tan}^2 x+6=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\tan}^2 x = -2<0\text{(loại)}\\{\tan}^2 x= 3\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \tan x = \pm\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow x = \pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi , k \in \mathbb{Z}\)
Cách trắc nghiệm:
Điều kiện của phương trình:
x ≠ kπ, x ≠ π/2 + kπ, x ≠ π/4 + kπ/2 (k ∈ Z)
Xét các phương án.
- Vì π/4 và π/2 không thỏa mãn điều kiện của phương trình nên hai phương án A và D bị loại.
- Với x = π/6 thì vế phải của phương trình đã cho âm, còn vế trái dương, nên phương án C bị loại.
Đáp án B.